Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
производным.
Система N обыкновенных дифференциальных уравнений (1) переходит в одно
уравнение в частных производных (2). Для непрерывной системы переменная х
играет роль "номера" точки.
Мы не будем останавливаться на физических следствиях уравнения (2), так
как изучение систем с бесконечным числом степеней свободы является
предметом не механики, а теории поля (см. [4], гл. 11; [2], § 32).
б)Е = /| ,dS? ^-Se\dx.
J I d{dq/dt) dt J
2
4.30. Функция Лагранжа L = ^ U(r) + §A(r)v, где A(r) -
2 ^
векторный потенциал магнитного поля, Ж = rot А (разумеется, А (г) всегда
можно выбрать в виде однородной функции координат степени п +1). Если
1-к
при преобразовании подобия г -> аг, t -> а 2 /, векторный потенциал
преобразуется так же, как и скорость, т. е. если п = то L ->• акЬ.
Поэтому уравнения движения остаются неизменными при таком преобразовании
и выполняется принцип механического подобия (см. [1], § 10).
Из приведенного вывода ясно, что принцип механического подобия справедлив
также для магнитного поля, постоянного и в пространстве, если
^-1
только при преобразовании подобия его величина изменяется в а 2 раз (см.,
например, задачи 2.30-2.33, 6.36).
4.31. Кинетическая энергия системы Т = т"г° ^ поэтому
а
2T = Y1 = dt& maVara)-
При усреднении за большой промежуток времени слагаемое ^ та^ага,
представляющее собой полную производную по времени от ограниченной
функции, обратится в нуль (см. [1], § 10). Подставляя во вто-
dU I е<х г ./fi
рое слагаемое mava = - - Ь - \уаЖ\ и усредняя по времени, получаем
{2Т + Ж^^а^а]) = k(U).
4.32] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 155
Здесь скобки ( ) означают усреднение по времени. В
частности, если маг-
нитное поле Ж однородно, то = А-, то
' ' 4(2. ' ' 4
2(Т) + ^Ж(М)=к(и),
где М = ^a[rava] - момент импульса системы.
4.32. а) Запишем ^ в виде двух слагаемых
dA
- = [m(xix2x3 + хгх2х3 + Х!Х2х3) - xiU23 - x2U13 - x3U12}~
- {xiU23 +x2U13 +x3U12). (1)
Используя уравнения движения
mx 1 = F12 + F13, mx2 = F21 + F23, mx3 = F31 + F32, (2)
f --f dUlk 2g2 m
Г ik - г ki - <-ч - , so (.*5)
dxi (Xi - xkf
и введя относительные расстояния
Xi-X2= X, х2-х3= у, Xi-X3= z, запишем второе слагаемое из (1) в виде
-Чг [(^з + ^2 + (-^з + р) 7 - + р) ¦ №
Собирая слагаемые с одинаковыми степенями z, перепишем (4)
2 g2(x - y)/ i х2+ху + у2 х + у m \х3у3 z2x3y3 z3x2y2
Подставляя сюда z = х + у, легко убедиться, что это выражение обращается
в нуль.
Первое слагаемое из (1) обращается в нуль для произвольных сил. Чтобы
показать это, достаточно использовать уравнения движения в форме (2) и
подставить
156
Ответы и решения
[4.33
Укажем, наконец, что в данном поле преобразование подобия не меняет вида
действия, и потому кроме трех указанных есть еще и четвертый интеграл
движения (см. задачу 4.13 б)
rri(xi±i + х2х2 + х3х3) - 2Et. (5)
4.33. При сближении любой пары частиц энергия их взаимодействия
неограниченно возрастает, поэтому частицы не могут пройти "одна сквозь
другую" и порядок их расположения на прямой сохраняется.
При столкновении двух частиц равной массы, но с произвольной энергией
взаимодействия (обеспечивающей лишь непроницаемость частиц) эти частицы
просто обмениваются скоростями. (Это следует из законов сохранения
энергии и импульса.) Если столкновения трех частиц происходят поочередно,
так что во время сближения двух частиц третья находится далеко от них, то
будет происходить просто обмен скоростями, причем соударения закончатся,
когда впереди будет находиться самая быстрая, а позади - самая медленная
из частиц, т. е. в этом случае
v[ = v3l v2=v2, г>з = гч. (1)
В общем же случае, когда сближаются все три частицы одновременно,
величины скоростей отнюдь не будут сохраняться.
Тем удивительнее, что для указанных в предыдущей задаче сил сохраняется
ответ (1). Это можно показать, используя все три интеграла движения: Р,
Е, А. Учитывая, что при t -> ±оо функции Uik -> 0, и сравнивая Р, Е, А
при t -> +оо и при t -> - оо, получим три уравнения:
v[ + v'2 + v3 = v\ + v2 + V3,
(v'i)a + (v'2)2 + (v'3)a = va1+va2+vi, (2)
V1V2V3 = V1V2V3-
Решая эту систему относительно v[, мы по получим, вообще говоря, шесть
различных решений. Однако все эти решения можно угадать.
Легко проверить, что решение (1) удовлетворяет системе (2). Далее, так
как уравнения (2), очевидно, симметричны относительно всех шести
возможных перестановок частиц, то ясно, что остальные корни системы (2)
могут быть получены простыми перестановками из (1).
После этого нетрудно убедиться, что только ответ (1) может
осуществиться при t ¦ +оо, ибо любой другой вариант
предполагает (в силу
указанных неравенств v3 > v2 > v\) возможность дальнейших столкновении
частиц.
5.2] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 157
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
5.1. а) со2 = Щ-yJl - ! min U{x) существует при F < V ос,
2 87г Va4 2 / Г(3/4) \ 2
о) иг = о + ip^L/4)"/ ' ГД6 ам1ШИТУда хо определена равенством
