Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Е=т^ + 1уа4х4 = iVa4x4,
5.2. Функция Лагранжа системы (см. [1], § 5, задача 4)
L = та2[в2( 1 + 2 sin2 в) + П2 sin2 в + 2Пд cos0],
где введено обозначение = 2д/а.
При П > По потенциальная энергия системы
U(в) = -та2 (П2 sin2 в + 2Qq cos в)
имеет минимум при cos#o = Пд/П2. Разлагаем U(6) вблизи во, а в
кинетической энергии полагаем
П0\4_ М
1+2 sin2 6" = 1 + 2 sin2 0о = 3 - 2 (^у) =
2та2 '
тогда
L = |Мх2 - }jkx2,
где k = U"(во), х = в - во- Отсюда
9 к , Р4-йп
ш2 = -^=П2- ---------------(П>П0.
М ЗП4 - 2П4 V 1
При П + По частота колебаний пропорциональна угловой скорости вращения lo
= -у П, а во = ?. В случае П -> По малые колебания совершаются V3 ^
с частотой со -> 0, а во -> 0.
Если П < По, то можно рассматривать колебания вблизи во = 0 при упругих
соударениях боковых масс
ш2 = Пд - П2 (П<П0).
158 Ответы и решения [5.3
При П = По потенциальная энергия II имеет минимум при во = О и
представима вблизи него в виде
и = та2П20(-2+ ^),
т. е. колебания существенно нелинейны. Оставляя и в кинетической энергии
члены до четвертого порядка, получим
2л =т = 8 [ VT+Wde
J
Здесь вт - амплитуда колебаний (ср. [1], § 11, задача 2 а).
5.3. Обозначим s = (q2/SmgR2)1/3.
При s < 1 положение устойчивого равновесия ро определяется усло-
ФО 2 Зр 2\
вием sm 2- = s, uj = - (1 - s ).
2 Н
При s > 1 положение устойчивого равновесия - точка А, а со2
5.4. г = го + acosio(t - to),
p = ipo+ft(t- to) - sin[w(t - to)], где го, (fio, a, to - константы
интегрирования (a <C ro),
fi = /Wro("+2)/2> u = fi>/2^.
5.5. В точке в = во эффективная потенциальная энергия U3фф(6>) =
М2
mgl cos в (см. [1], § 14, задача 1) имеет минимум, поэтому
2ml2 sin2 О ПЭфф(0о) = 0. Отсюда находим
М2 = m2l3g sin4 во/ cos во, а частота малых колебаний
и{в о) =
^эфф(^о) _ д 1 + 3 cos2 в0 ml2 VI cos в0
5.7]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
159
Для применимости этого расчета необходимо, чтобы
±[/"ф(0о)(Л0)2 " ||?/'?ф(0о)|(Д0)3,
где Ав - амплитуда колебаний. Если во ~ 1, это условие выполняется при Ав
<§] 1. Однако при во ''б' 1 оказывается II |фф f во) ос и колебания по О
можно рассматривать как малые, только если Ав <?' во- Тем не менее в этом
случае полученный результат и> = 2y/g/l справедлив и для Ав ~ во, когда
колебания по в перестают быть гармоническими. Действительно, по осям а; и
у в этом случае происходят малые гармонические колебания с частотой \fgTl
т. е. маятник движется по эллипсу, совершая за один оборот два колебания
по углу в (см. [1], § 23, задача 3).
5.6. Эффективная потенциальная энергия для радиальных колебаний молекулы
2
Um (г) = lrriuJo(r - г0)2 + М
2 2тг2 '
где г - расстояние между атомами, am - приведенная масса. Добавление
второго члена, предполагаемого малой поправкой, приводит к малому
смещению положения равновесия
М2
Sro =
9 9 4*
т и0?о
Изменение частоты определим, разлагая [Дфф(г) в ряд вблизи точки Го +
§го'.
ТТ / \ 1 2/ I \2 М2 , 3М2 / I \2
иэфф{г) = -тш0{г -Го- Ого) + + -4 (г - Го - ОГо) .
Отсюда поправка к частоте
г = Ш2 = ЖР 2т2и)ого '
где 9 = М/тго - средняя скорость вращения молекулы.
5.7. а) Смещение из положения равновесия
160
Ответы и решения
[5.8
б) Пусть натяжение одной пружинки /. Для малых смещений \у\ у/fl/к,
колебания гармонические у = Acos(u>t + р), и>2 = 2f/ml.
При / = kl частота колебаний та же, что и в пункте а). Если пружинки не
натянуты (/ = 0), колебания нелинейны, возвращающая сила F = -куг/12\
частота (см. задачу 5.1 б)
V^T(3/4) /2кУт
СО -
Г(1 /4) V 171 I
(ут - амплитуда колебании).
Если частица может двигаться в плоскости ху, то ее движение при f ф 0 и
малых смещениях представляет собой гармонические колебания вдоль осей а;
и у с частотами со2 = 2к/т и со2 = 2 f /ml соответственно (см. задачу
6.3).
5.8. Пусть у - координата частицы, отсчитанная от точки верхнего
подвеса. Функция Лагранжа системы
т тУ2 if /\2 гпУ2 ,/ , т9\2 , ,
L = - к {у - I) + тду = ------------------k\y~l~^k) + const
9 2k
соответствует осциллятору с частотой со = и положением равновесия
Уо = 1 + поэтому у = уо + Acos(u)t + р).
Заметим, что, выбирая в качестве координаты отклонение от положения
равновесия, мы исключаем из функции Лагранжа поле тяжести.
5.9. Угол отклонения маятника от вертикали
< 1
aVt2 г,, aVt2
р = ------------- cos 1 It,
g-Ш2 g-Ш2
(см. также задачу 8.3).
Возможны также колебания маятника вблизи направления радиуса-вектора р> =
Sit Н-~~г sin Ш, П2 >¦ f.
afl2 °
5.10. Ток в контуре
dq Uosinluft - p) uj!?-1/ujC
I =-г = - -, tg p = -------------------
dt ^JR2 + -1/ujC)2 R
5.11]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
161
можно получить, решая уравнения Лагранжа для q. Функция Лагранжа си-
5?q2 а2 1
стемы L = --- (см. задачу 4.22) диссипативная функция равна -Rq2
А А\^ А
(см. [3], §48).
5.11. Общее решение уравнения движения (см. [1], §26; см. также [14])
2 F х + 2\х + и)0х = - cos jt
при условии и>2 = u>Q - X2 > 0 имеет вид
x(t) = е (a cos cot + b sin cot) +
