Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
больших ? результат зависит от величины а. Если а > 1, то возможно лишь ?
< ?1 (рис. 119,а; для сечения - рис. 120,а). Если же а < 1, то возможно
т/2
? < ?2 = т-р- (рис. 119,6), причем при е = Е\ график da ids испытывает
2г/е
скачок, а при ?2 - ? <С ?2 имеет интегрируемую особенность (рис. 120,6)
da =
7г de
1
л/2>f2 ?2 л/1 - ?/?2
166
Ответы и решения
[5.15
5.15. Если осциллятор имеет "прицельную фазу", равную р (см. задачу
5.126), то, повторяя выкладки предыдущей задачи, получим для энергии
осциллятора выражение
? = ?ie-2(^p) + 2-v/?i?0e-(^p-) cos р -Ь sq, (1)
ГДе /лг \2
тт (Vto\
И = 775 ( 777 ) ехр<
= 1е{Щ
При cos р > 0 для всех р оказывается ? > ?о, а при cos р < 0 существуют
такие p\t 2, Для которых ? < ?о. Разрешая уравнение (1) относительно р2,
находим
Р2 = Л 1п
Vei/eo
Pi, 2 - \
COS р р- yj(е/?о) - sin2 р
______________л/ЁТ______________
у/?о| cos^| ± - ?о sin2 р
И ?0 > ? > ?min = ?0 sin2 р. Отсюда dp2
при ? > ?о,
при cos р < О
da = тг
de
de =
de
2я2
при ? > ?о И
da = Trd(-p1 + р2) =
е - ?о sin р - cos р ¦ у ??о - ?q sm р ?о7г| cos р\ de
1
(?0 - ?)у//??о - EflSin2 р
(2)
(3)
при ?min < ? < ?о И COS Р < 0.
Усредняя по всем возможным для данного ? фазам р, получим
/da\ _ тт \ de / 2^2|?0 - е\
(4)
Рис. 121
(рис. 121). Усреднение проводится по формулам
2тг
0
5.16]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
167
ДЛЯ ? > ?о И
7г+а
/da \ 1 f da 1
\*/ = S J
7Г - CX
для e<eo. Здесь a = arcsin -^/e/eo.
Расходимость сечений (2), (3) и (4) при ? -> ?о связана с тем, что при
любых больших р осциллятор возбуждается.
С чем связана дополнительная особенность в (3) и почему ее нет в (4)?
5.16. Для функции Лагранжа L = ^тх2 - ^mto2x2 + xF(t) энергия системы
EH) = f(Re()2 + f (ImO2 - Im5 = f
iF(t) 2 F2(t)
2mto
где
? = x + icox = ег'
e-^^F(r)dr
(1)
(см. [1], § 22). Хотя выражение для энергии имеет определенный предел при
t -> оо, интеграл, определяющий ?(i) при t -> оо, не имеет предела (так
как F(t) -> Fg при т -> оо). Интегрируя (1) по частям, получим
гаси
F\r)e
Г dr,
(2)
где F'(t) -> 0 при т -> оо и интеграл сходится при t -> оо. Из (2) видно,
что движение осциллятора при t -> оо представляет собой гармонические
колебания (второе слагаемое в (2)) около нового положения равновесия
Fa
Xq = j (первое слагаемое в (2)). Переданная осциллятору энергия в
тш
соответствии с этим имеет вид
Е(+оо) = -
Fo
2mui 2шсэ
1
F\t)e
ldt
168 Ответы и решения [5.17
5.17.
. . . . . Fq A4Fq aX2F0 cos р
L\E = E(F00) - E(-oo) = r H-----------r--~ j ^5-.
2tocj 2tocj (A +cj ) A + cj
Eq = muj2a2, <? - "прицельная фаза" (см. сноску к задаче 5.126).
Т
5.18. Проводя в формуле ?(т) = ?(0)егшт + ^егшт J F(t)e~lujtdt
о
(см. [1], § 22) тг-кратное интегрирование по частям, получаем выражение
, iF° , F^(+0)e^T-F(n)(T-0)
?(т)=?(0)е +WEJ +------------------- (n+1)------------+
r
+-----^T-ГГ f F^n+1\t)e~iujtdt.
to(*cj)("+ ) J
о
Здесь |?(0)| = aoui, где cio - амплитуда колебаний до момента включения
силы. Предпоследний член в этой формуле по порядку величины равен
-^j(cjt)~", а последний, вообще говоря, гораздо меньше (если F^n+1\t))
тш
" 2
,-2
изменяется плавно). Квадрат амплитуды колебания со
F0(ujT)-n'2
p_iFo_
^ TY1,Ll)
при t > Т
по порядку величины равен I ао
Таким образом, если сила включается медленно и плавно, передача энергии
очень мала.
5.19. а) В промежуток времени 0 ^ i ^ т колебания имеют вид х = Ft/mto2T
+ В sinwi + С cos сot.
Движение окажется установившимся, если
х(т) = х(0), х(т) = х(0).
Эти условия приводят к системе уравнений
гр
^ + В sin lot + С(cos cjt - 1) = О,
mcj (1)
В (cos сот - 1) - С sin cjt = О,
5.20] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 169
определяющей постоянные В и С. Таким образом, при О т
<t) = -л- т:; • (2)
ппо2
I sin(o;t - cjt/2)
2 sin(cjr/2)
Если же t лежит в промежутке пт ^ t ^ (п + 1)т (где п - целое), то в
правой части (2) следует заменить t на t' = t - пт (0 ^ t' ^ т).
При lot, близком к целому кратному 27Г, второй член в (2) оказывается
очень большим - случай, близкий к резонансу. При сот = 2irl (I - целое)
установившихся колебаний быть не может (система (1) противоречива1).
б) x(t) = I Im[^ + m{xF+iuf~Xt + для 0 t ^ т; здесь
F 1 - е~Хт
А=-
пг(Х + ш) 1 - е1
для пт ^ t ^ (п + 1)т в правой части следует заменить t на t' = t - пт.
в) При и>о = {!?С)~Х12 > X = R/2X? установившийся ток
7?) =---, о1 a = -X + iJu2-X'2 (1)
для 0 ^ i ^ т. Для п ^ |г ^ п + 1 нужно в формуле для тока заменить t на
t' = t - пт.
Можно ли, используя (1), получить выражение для установившегося тока при
ujq < X или при ujq = Л?
т
5.20. а) А = ^JF(t)x(t) dt
Ас2 Г ° Л2 , 4/|
m I (W2 - w2)2 + 4A2cj2 (w2 - 4cj2)2 + 16A2cj2
1 Представив силу в виде ряда Фурье
1=1
видим, что резонансную раскачку колебаний может вызывать каждая гармоника
вынуждающей силы. При г = для достаточно больших t (каких именно?)
x(t) ~ - -Ft gjn ^
2тт mull
170
Ответы и решения
[5.20
