Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 37

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 86 >> Следующая

б) Из свойств симметрии данного поля можно получить следующие интегралы
движения:
,, _ 2 • , еУ т~? ТО/-2 , 2 -2 , -2\
pz = mz7 Mz = pv = mr ip + -, E = -^{r + r ip + z ).
Однако движение в этом "поле" есть свободное движение. Действительно,
функция Лагранжа
отличается от функции Лагранжа свободной частицы только на полную
производную по времени функции (разумеется, в этом случае Ж = rot А = 0).
Заметим, что в случае, когда у есть функция времени, pz и Mz остаются
интегралами движения.
4.17. а) х + х = 0. Такое же уравнение может быть получено из функции
Лагранжа Li(x, х) = х2 - х2. Как известно, если две функции Лагранжа
отличаются на полную производную функции координат и времени, то они
приводят к одинаковым уравнениям Лагранжа. Обратное утверждение неверно.
б) х + ах + сс2х = 0.
146 Ответы и решения [4.18
4.18. а) Уравнения Лагранжа для частицы в поле U в сферических
координатах
т(г - гф2 sin2 в - гв2) + = О,
or
т(г2в + 2ггв - г2ф2 sin в cos в) + = О,
дв
т(г2ф sin2 в + 2ггф sin2 в + 2г2вф sin в cos в) + = О
легко привести к виду
m(v)j = (F )i, где компоненты силы есть компоненты - grad U:
р _ dU р _ 1 dU р 1 dU
г - ' 0 - г ял ' V5 -
dr ' г дв 1 г sin в др'
Отсюда
(v)r = г - гф2 sin2 9 - гв2,
(v)e = гв + 2гв - гф2 cos в sin в,
(v)v = гф sin 9 + 2гф sin 9 + 2гвф cos 9.
б) ^ - Т"Ж = ^ + i
2hi Vdt dqi dqi/dt2 k=1\ dqk Ы dqi /
4.19. а) Функция Лагранжа
з
L = Щ X] 9ikmk - U(qi, q2, q3),
i, k= 1
где з
Edxi dxi . .
^=Х'Х2=У'Х 3"")-
приводит к уравнениям
3 3
m ^ ~ QskQk "Ь ^ ~ Гs,kiqkqi к - 1, 2, 3), (1)
k= 1 fe,i=l
где
г _ 1 (dgsk dgis дды\
а,Ы 2 V dqi dqk dq8 J'
4.20] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 147
б) Введя обозначение 34(ж, t) = t, можем сохранить все выкладки и
3 4
формулы предыдущего пункта, лишь заменив ^ на
1 1
Какой смысл имеют в уравнениях (1) члены, содержащие Г1,ь4 (k = 1, 2, 3,
4), если qi - декартовы координаты во вращающейся системе отсчета (см.
задачу 4.8)?
4.20. Так как предложенная функция Лагранжа только слагаемым Li = -~р-ф
cos 9 отличается от функции Лагранжа свободной частицы, то компоненты
силы в сферической системе координат (см. задачу 4.18 а) имеют вид
Fr = 0,
j., 1 дЬ\ едфътв
в ~ г дв ~ '
р _ 1 d dLi _ едв
v г sin в dt дф Сг
и действительно совпадают с компонентами силы Лоренца
= ^[vr]. ь сгз
BL 2
Поскольку -- = 0 интегралом движения является энергия Е = п1'' .
ut ^
Разберемся, каким образом возникает интеграл движения
т г 1 е9 г J = m[rvj - -
Функция Лагранжа не изменяется при поворотах вокруг оси z, поэтому
интегралом движения является
pv = тг2ф sin2 в - Щ- cos в = Jz.
Другие же повороты системы приводят к изменению функции Лагранжа на
полную производную функции координат по времени, которая может быть
отброшена1. Поэтому интегралом движения является и проекция Jz> на любую
другую ось, а значит, и вектор J.
Например, при повороте вокруг оси х на малый угол <5а к L добавляется &L
= = ctgflcosyj).
148 Ответы и решения [4.21
Действие, соответствующее данной функции Лагранжа, не изменяется при
преобразовании подобия. Поэтому интегралом движения является
ргг - 2 Et = mfr - 2 Et
(ср. с задачей 4.13 б).
4.21. Уравнения движения
cvf Я2
-ttl = pa - рв, -jj = рв ~ Ра-
Будем считать, что источник напряжения представляет собой конденсатор
очень большой емкости Со, а заряд его в момент, когда q\ = 0, есть Q.
Энер-
F {Q + ч О2
гия системы, включающей источник и индуктивность, Ь(| =
2С0
CD "
a^4i- Смещая начало отсчета энергии и рассматривая предел Со -> оо, a
Q/Cq = U, получаем
Q2
E = E°~Wo=U^ + ^-
Именно к такому значению энергии приводит предложенная функция Лагранжа.
Подобно этому энергия частицы гп в однородном поле силы -F(t) есть ^ +
Fx.
К такой же функции Лагранжа можно прийти от функции Лагранжа
электромагнитного поля и взаимодействия поля с зарядами (см. [3], §§27,
28):
L= ^ f(S2-J^2)dV+l J AidV-J ppdV (1)
(в гауссовой системе единиц).
Вообще говоря, электромагнитное поле есть система с бесконечным числом
степеней свободы. Но поля в конденсаторе и в соленоиде определяются
зарядом г/2 и током ср. Используя уравнения
С rot Ж = 47rj, Alv8 = 4/Kp
4.21]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
149
(и учитывая, что поля сосредоточены в ограниченном объеме), получаем
J срр dV = J <р div ё (IV =
= Тг / dhf^8)dV
и аналогично
hJAidv = ±Jx*dv,
так что
L = ^ J(Ж2 - ё2) dV.
Поэтому функция Лагранжа может быть выражена через энергии электри-
1 я2
ческого поля в конденсаторе - f 82 dV = -^ и магнитного - в индуктив-
07Г Akj
ности Т- Г Ж2 dV = \??q{ (см. [3], §2.32).
07Г J 1
При наличии внешнего поля Ж е, создаваемого токами je, следует заменить в
(1) Ж, A, j на Ж + Же, А + Ае, j +
je. Добавка к функции
Лагранжа (1) с учетом уравнения с rot Же = 47rje легко
приводится к виду
^ J Ж2ёУ + \ J Aej dV.
Отбрасывая слагаемые, зависящие лишь от внешнего поля, и учитывая, что
для тонкого провода j dV = qi dl, где d\ - элемент длины провода,
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed