Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
dq = dq_dQ_ dq dt _dtdQ dt dr dQ dr dr ' dr dQ dr dr
4.5. L=^ji^r-{l + \±)U{x), L = dg.
4.6. L=-U
Предложенная задача поставлена чисто формально. Однако, как данная
функция Лагранжа, так и рассматриваемое преобразование ("исправленные"
введением размерных множителей) имеют простой физический смысл в теории
относительности (см. [3], §4, 8),
4.7. Для Pt = Щ-, Е' = Y^PiQi ~ L находим
dQi I
142
Ответы и решения
[4.8
(1)
4.8. Используя формулы предыдущей задачи, получаем
a) p'r = mf' = pr, p'v = тг' (ф' + П) = pv, Е' = Е -
Qpv;
^ ( р'х = рх cos Ш - ру sin Ш,
1 р'у = Рх sin ГИ + ру cos Ш.
Из (1) следует р' = р, а сами эти равенства представляют собой
закон
преобразования компонент вектора при переходе к системе координат,
повернутой на угол Ш. Подчеркнем, что р' ф mv' (ср. [1], §39).
4.9. а) Е' = Е - Vp, р' = р;
-j? р' = р- mV.
Два выражения энергии отличаются на постоянную. Обычно используется
второе выражение, так как именно оно согласуется с определением энергии в
теории относительности.
4.10. Пусть qi = fi(t) описывает движение системы (траектория АВ на рис.
113). Так t как вид действия не изменяется при переходе к переменным q',
t', равенства q[ = fi(t') также описывают действительное движение си-
б) Е' = Е - Vp
Рис. 113
стемы. Выраженные в переменных qi, t с точностью до первого порядка по е,
эти равенства имеют вид
qi(t - St) = fi(t) - Sqt,
где
5qt = еФi(f(t)t), St = eX(f(t), t)
(траектория А'В' на рис. 113).
Малые изменения координат и времени начала и конца движения при переходе
от траектории АВ к траектории А!В' приводят к изменению действия:
SA'B-~SAB=
Здесь (см. [1], § 43)
^ = = ?Г = ?Г=Рг(*)-
dt dqt dqt dqt
4.13]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
143
С другой стороны, согласно условию задачи, Sab = Sa> в1 , так что
E(tA)eX(qA, tA) - tA) =
г
= E(tB)sX(qB, te) - ^Рг(^в)?Фг(9В5 te),
г
или
EX - = const.
Доказанная теорема представляет собой, в сущности, единый вывод различных
законов сохранения. Важность ее возрастает в связи с тем, что подобная же
теорема имеет место и в теории поля (теорема Нётер, см. [12, 13]).
4.11. V (qtX - Ф i)-LX-f = const.
^ dqi
г
4.12. а) Импульс;
б) момент импульса;
в) энергия;
Ь.
г) Mz + - pz = const, h - шаг винта;
Z7T
д) Ex - pxt = const - интеграл движения центра инерции системы (см. [2],
§ 14).
4.13. а) Потенциальная энергия U(г) = - Fr, а с ней вместе и действие, не
изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к F, и при
поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интегралами движения
являются компоненты импульса, перпендикулярные к F, и компонента момента
импульса, параллельная F. Так как функция Лагранжа не зависит от времени,
интегралом движения является энергия.
Утверждение, что различные точки в некоторой области "равноправны",
означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энергии (а
не силы!).
б) Преобразование подобия г' = аг может сохранять вид действия, если
одновременно преобразуется время t' = fit. Вклад в действие кинетической
энергии
144 Ответы и решения [4.14
остается неизменным при (3 = а2, а вклад потенциальной энергии
при п = -2.
Чтобы воспользоваться теоремой, сформулированной в задаче 4.10,
записываем бесконечно малое преобразование подобия, положив а = 1 + е,
е -> 0:
г' = (1+?)г, t' = (1 + 2e)t, так что Ф = г, X = 2t и интеграл
движения
Щ^ЫХ -Ф) - LX = mvr -2Et = C. (1)
ar
-| j 2
Из (1) можно найти r(t), учитывая, что rv = ym-:
Л &L
Г2 = Щр + Ы + Съ (2)
Если Е < 0, то частица падает на центр (при этом г -> оо).
Если Е > 0,
удобнее ввести вместо С, С\ другие константы т, В и записать (2) в виде
Г= = (|((-Т)=+в.
При В > 0 зависимость г(?) такая же, как для свободного движения частицы
со скоростью Vo = \J2E jm и прицельным параметром р = \/~В. При В < 0
частица падает па центр.
Поля, для которых выполняются условия этой задачи, приведены, например, в
задачах 12.6, 12.7 и в [1], задача 2 к § 15.
в) Е - Vp = const;
г) гр - 2Et = const, где р = mv + |А, если А(ах) = а-1А(г);
д) Е - pv fl = const.
4.14. тг - pt = const (ср. с задачей 4.12 д).
Является ли этот интеграл движения для замкнутой системы восьмым
независимым интегралом (кроме Е, М, р)?
4.17] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 145
4.15. а) Пусть ось z параллельна Ж. Сдвиг вдоль оси z и поворот во1фуг
нее не изменяют вида А, а следовательно, и вида действия. Поэтому
интегралами движения являются pz = = mz и Mz = хру - урх =
= т(ху - ух) + ^rix2 + У2)- Кроме того, интегралом движения является
энергия Е = Щ (х2 + у2 + z2).
б) Е = ^(х2 + у2 + z2), р'у = ту+^Жх, p'z = mz (ср. с задачей 10.7).
Соображения симметрии позволяют определять различные интегралы движения в
зависимости от выбора векторного потенциала данного поля Ж. Но все
величины: Е, pz = p'z, Mz, р'у - являются интегралами движения независимо
от выбора А.
4.16. а) Е = Цр(х2 + у2 + z2), Mz = т(ху - ух) Н - (здесь
2 с^/х? + у2
ось z выбрана параллельной вектору ш). Ср. с задачей 2.31.
