Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
F[(lOq - 72) cos jt + 2A7sin7t] m[(cjg - 72)2 + 4A272]
где а и b - константы, определяемые из начальных условий. Полагая ж(0) =
= х(0) = 0, найдем окончательно
x(t) =
F
m[(cjg - 7 ) + 4А272]
|^(cJq - y2)(cosyt - g XtCOSU>t) +
(1)
Исследуем полученное решение вблизи резонанса 7 = и> + е, ? Сш. Если
трение полностью отсутствует, т. е. А = 0, то в окрестности резонанса
движение осциллятора представляет собой биения:
ж= m^sinf -smwo*, (2)
причем величина амплитуды и частота биении определяются степенью близости
к резонансу (рис. 115, а). Когда же 7 = u>q (т. е. имеет место полный
резонанс) при е -> 0 получим
F
Рис. 115
2tocjo
t sincjoi,
(3)
т. е. колебания, амплитуда a (t) которых неограниченно возрастает по
закону a(t) = Ft/2muJo (рис. 115,6).
162
Ответы и решения
[5.11
х
а)
х
х
F
2^2т?У0| е\
в) 1
Рис. 116
При наличии даже малого трения (Л <С шо) картина движения качественно
меняется. Так, при Л <С |е| из (1) легко получить вместо (2)
x(t) = - ^-л/1 - 2e~xt cos et + e~2Xt cos(ujot + ip\(t)). (4)
ZmLOgE
Здесь pi (I ) - некоторая медленно меняющаяся во времени фаза колебании.
Амплитуда колебаний медленно осциллирует с частотой |е| около значения
/''/2m_j(i|s|, постепенно приближаясь к нему (рис. 116, а). Замечательно,
что во время переходного процесса амплитуда может достигать значений,
почти вдвое больших амплитуды установившихся колебаний. При соотношениях
|е| <С Л <С too получаем
х = - e~xt)c°s(uJot+ (fi2(t)). (5)
В этом случае происходит переходный процесс с плавно растущей ампли-
тудой, асимптотически приближающейся к значению F/2mu>oX, опреде-
5.12]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
163
ляемому коэффициентом трения Л (рис. 116,6). И, наконец, если ? и А -
величины одного порядка малости, |е| ~ А <С и>о, то осцилляции амплитуды
вокруг значения, отвечающего установившимся колебаниям F/2\/'2mtoo\s\,
весьма неглубоки (для случая ? и А, см. рис. 116, в).
Таким образом, система приходит к установившимся колебаниям для этих трех
случаев (рис. 116) за время t порядка 1/А (это, впрочем, очевидно и из
(1)).
Качественное исследование процесса установления колебаний (переходного
процесса) при А <С и>о удобно проводить с помощью векторных диаграмм
(рис. 117). Вынужденное колебание изображается проекцией на ось х вектора
О А, вращающегося с угловой скоростью у. Вектор свободного колебания АВ
вращается с угловой скоростью lo, и длина его убывает пропорционально
е_Л*. В начальный момент АВ + О А 0.
Каков характер переходного процесса, если х(0)
5.12. а) Энергия, приобретенная осциллятором,
771 TVF2 2 Г 1/ N 21
Е=Ъ/Т еХ^ 2 J
Рис. 117
0, х(0) / 0?
существенно зависит от того, как быстро включается сила (от параметра
lot). При мгновенном ударе (lot <С 1) или при очень медленном включении
силы (lot ^ 1) передачи энергии малы,
F2
максимум передачи энергии 77тах = у- до-
Рис. 118
стигается при тт = у/2/to (рис. 118). б) Если х -> a cos(cot + ip) при t
¦
оо,1 то
АЕ = Е(+оо) - Е(-оо)
-кЕ// 2 -(шт)2/2 2 то
yfrauoTFe /4 sin (р.
В зависимости от величины р осциллятор приобретает или теряет энергию.
Это изменение энергии подобно поглощению или вынужденному испусканию
света атомом.
При усреднении по фазе р получим тот же ответ, что и в пункте а).
имеет смысл "прицельной фазы", т. е. той фазы, которую осциллятор имел бы
при t = О, если бы не было вынуждающей силы.
164
Ответы и решения
[5.13
5.13. a) x(t) = (t)+?2(t)}, где
Ci,2 = е
_ P±Mt
г
J ^F(T)e±^TdT + ±о Т
/ ШР(т)еХт ШТ(1т + + (гсо + А)а;0
б) x(t) = - 1т|егш4 xt где со = у/сJq - А2.
5.14. На осциллятор действует сила
F(t) = -|-[/(|r-r0(t)|),
(1)
где г(t) - отклонение осциллятора, a r(J (/) - радиус-вектор налетающей
частицы. Предполагая отклонение частицы малым, полагаем г о (t) = р + v/
(р - прицельный параметр, векторы р и v взаимно ортогональны). Считая
также малой амплитуду колебаний осциллятора, полагаем в (1) (после
дифференцирования) г = 0; тогда F(i) = - 2>c2V(p+vt)-exp( -я2р2 -
x2v2t2).
Колебания по направлениям р и v независимы и возбуждаются до энергии
1
2 то
+ 00
Fp(t)e~iujtdt
2 ш
Fv(t)e lujtdt
(2)
соответственно. Здесь Fv ж Fp - компоненты силы по направлениям v и р.
Полная энергия возбуждения осциллятора1
е = ^(а; + а)е-
(3)
где
E=^mv2, а=|(^у), х = 2{кр)2.
Интересно отметить, что зависимость s(co) такая же, как и зависимость
спектральной плотности излучения быстрого электрона в поле U(г) (см. [2],
§ 67).
5.14]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
165
Сечение возбуждения осциллятора до энергии, лежащей в интервале от е до е
+ 5е,
de a + Xk(s)
d(T = nYi\dp2k\ = 2!L-^y'\,
Y 2^2e^ll -a-Xkie)'
где Xk - различные корни уравнения (3).
-a -a+1
a)
Рис. 119
6)
(4)
Рис. 120
Дальнейшее исследование удобно проводить, решая уравнение (3) гра-
Т/2
фически, как это делалось в задаче 3.10а. При ? <С ?i = ~//^ае~а полу-
2Ь
чаем da = -(в уравнении (4) полагаем х/е) ^ 1, Xk ~Э> а). Для 2>с
