Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
д2и . д2и ______________
Ту*
при граничных условиях
и = 0 при 2 = 0,
ди ,
= 0 при z — h\
если потребовать ещё ограниченности и во всей рассматриваемой нами
области, то непременно должно быть я = 0, что и доказывает высказанное
утверждение.
Распределение скоростей получается по параболическому закону (рис. 154).
Для протекающего количества жидкости Q и для средней скорости легко
получаем
формулы:
Q
pgbh* sin а 3jl ’
рgh'2 sin а 3jl ’
(11.22)
так что протекающее количество жидкости обратно пропорционально
коэффициенту вязкости жидкости и прямо пропорционально кубу глубины
жидкости.
Осветим ещё на этом последнем примере вопрос о диссипации энергии.
Рассмотрим то количество жидкости, которое находится над прямоугольной
площадью основания, одно ребро которой, параллельное оси Ох, имеет длину
I, а другое, параллельное оси Оу, имеет длину Ь. Сила тяжести, действуя
на отдельные частицы этого объёма
ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕИЛЯ
427
жидкости, производит некоторую работу. А именно, частицы объёма Ibdz и
массы р Ibdz, для которых координата z лежит между 2 и g-\-dz, за единицу
времени опустятся на v sin а, так что работа силы тяжести будет
рlb dz • vg sin a.
Интегрируя это выражение по z от 0 до А, мы найдём работу силы тяжести,
производимую за единицу времени:
h
Г ,, . , ... pg‘/i3sina p2g2hzlb sin2 a
A= olbgv sin adz = pglb sin a • !jL~g---------------— ——^------•
о
Но так как никакого увеличения кинетической энергии жидкости не
получается, то, очевидно, вся энергия, получаемая за счёт силы тяжести,
диссипируется. Действительно, если мы вычислим по формуле (7.7)
диссипирующуюся энергию Е, отнесённую к единице времени и единице объёма
„ ( dv \2 p2?f2sin2 a (h — z)2
Е = ^Ы) =- Д L
и проинтегрируем это выражение по рассматриваемому объёму, то получим:
л
Ibfg2 sin2a Г __ 2 dz _ lbh3fg2 sin2 ос
(x ./ ' ' 3;x ’
О
т. е. величину, равную как раз А.
В заключение отметим, что при больших числах Рейнольдса рассматриваемое
течение становится турбулентным, следовательно, полученные нами формулы
применимы только к случаю очень малых глубин и сравнительно малых
скоростей и неприменимы, например, к случаю течений воды в реке, имеющих
уже турбулентный характер.
§ 12. Течение Пуазейля. Мы займёмся теперь теорией ламинарного течения в
цилиндрических трубах. Исследование течений в трубах имеет, как это
вполне очевидно, громадное практическое значение; понятно поэтому, что
этому вопросу посвящены были многочисленные работы, приведшие к открытию
важных закономерностей. Так, например, Гаген (Hagen) на опытах с трубами
изучал как ламинарную, так и турбулентную формы течений, а также переход
от одной формы течения к другой. Осборн Рейнольдс установил известное
условие перехода от ламинарной формы течения к турбулентной,
заключающееся в том, что число Рейнольдса переходит через неко-г°рое
критическое значение, также на основании своих опытов с течениями в
трубах.
428
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. и
Задача о течении в трубе имеет, как мы сейчас увидим, вполне точное и
строгое решение. Однако это относится только к случаю ламинарное формы
течения. Для турбулентной формы течения мы такого строгого решения пока
ещё не имеем. Однако преобладающее большинство течений в трубах, с
которыми приходится иметь дело на практике, — течения турбулентные.
Наиболее важным случаем ламинарных течений являются течения в тонких
трубках, так называемых капиллярах.
Несмотря на это обстоятельство, теория ламинарного течения в трубах имеет
весьма fольшое значение. Дело в том, что поскольку мы имеем в этом случае
строгое решение уравнений гидромеханики вязкой жидкости, получается
возможность сравнить результаты теории с результатами опыта. Оказалось,
что опыт блестяще подтверждает выводы теории, а это показывает, что
основные предпосылки теории: уравнения Равье—Стокса и принятые нами
граничные условия (прилипание жидкости к стенкам сосуда) являются
оправданными. С друюй стер ян,!, целый ряд приборов для определения
вязкости имеет юавной своей частью капиллярную трубку, через которую
происходи г геч-. нне жидкости, так что теория этих приборов основана на
а.(.’рин ламинарною кч шпя жидкости через трубы.
В основ) наших рассуждений естественно положить основные уравнения
гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах
i5.14) и (5 15).
Сформулир ем основные допущения. Пусть мы имеем цилиндрическую труб)
круговою еччения, радиус которого равен а. Ось этой трубы примем за ось
Ог цилиндрической системы координат. Пусть несжима мая жидкость течёт
вдоль этой трубы, причём внешние силы отсутствуют. Допустим, наконец, что
течение стационарно и что в каждой точке скорость направлена параллельно
оси трубы, так что
Vr = Vij~0, vz — v (г, б, z).
При этих допущениях уравнения (5.14) принимают, как легко видеть,
следующий простой вид:
Первые два из этих уравнений показывают, что р может зависеть только от
г; последнее же уравнение показывает, что v есть функция только г и 6. Но
