Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
притока энергии в виде:
cvр ? + div (k grad Т) — Ар div в -f- А j ^ (div v)2 -}-
+ *[(?)*+(?)‘+(?),]+.‘(?+&),+
Так же как это мы делали при выводе уравнения притока тепла в идеальной
жидкости, преобразуем в (10.5) dive на основании уравнения неразрывности
и соотношения Клапейрона. Тогда получим
Вставляя это в (10.5), собирая члены и вспоминая, что
ср — cv — AR,
получим окончательно dT
Г ri _________________
V dt
— А ~ж~~ 3 ^ ?гас* ^ А {^
+*[(?)+(?)’+(?)?]+
dvx dvyV (dvx dvz\? !dvy dvz\^ ду "+? дх) "+Ч dz + дх) “•"VdT + 'ty
(10.6)
Уравнение (10.6) отчётливо показывает, за счёт чего происходит изменение
температуры движущейся частицы и является существенным дополнением к
рассуждениям § 7.
При Х=:р. = й=;0 мы получим вновь уравнение притока тепла Для идеальной
сжимаемой жидкости, которое в случае, когда е = 0, даст условие
адиабатичности,
27*
420
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Отметим ещё форму, которую примет (10.5) для несжимаемой жидкости при е =
0. Здесь
Cvp = div (k grad T) -f Ар. 12
/ dvx \2 (dvy\2 ( / dvz Уд7) +\W) ~г[~дг-
+
!dvx dvy'f (dvx dvz \2 (dvy (ЬгуП
+ l^ + -5rj+1-5Г++ )• (10-7)
Так как температура не входит в уравнения движения вязкой несжимаемой
жидкости, уравнение (10.7) можно решать отдельно, после того как поле
скоростей определено. Это—обобщение на случай жидкости классического
уравнения теплопроводности для твёрдого тела:
~ = div (a2 grad Т), (10.8)
где а1 — так называемый «коэффициент температуропроводности». Новые
краевые и новые начальные условия, которые следует вводить при решении
нового уравнения (10.5), мы будем давать в каждом конкретном случае
приложений этого уравнения в различных разделах этой главы.
Заметим ещё, что в сжимаемой жидкости часто нельзя будет считать
коэффициенты вязкости постоянными. Это же относится и к коэффициенту
теплопроводности k. Дело в том, что и вязкость и теплопроводность могут
зависеть от температуры Т. Зависимость эта определяется в физике, и мы
используем её в отдельных конкретных приложениях (см. ниже). Здесь
отметим только, что отношение [хср/й (10.9) будет уже, для данного газа,
постоянным. В этом отношении ср — теплоёмкость при постоянном давлении,
которая, как мы отмечали в главе по газовой динамике, связана с cv
формулой
cp — cv^=z Aft-
Безразмерная величина \xcp/k носит название числа Прандтля и обозначается
буквой Р. Эта величина вместе с отношением
должна быть прибавлена в случае сжимаемой жидкости к числам Рейнольдса,
Фруда и Маха в рассуждениях о подобии.
Б. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 11. Одномерное течение между двумя параллельными
плоскими стенками. В предыдущем разделе мы вывели основные уравнения
гидромеханики вязкой жидкости в различных формах и установили ряд
свойств, присущих либо всем движениям вязкой
? Hi ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ 421
жидкости, либо большим классам таких движений. Теперь же мы переходим к
исследованию отдельных конкретных движений вязкой жидкости и. в первую
очередь, к исследованию важнейших из тех случаев, когда можно точно
проинтегрировать уравнения движения вязкой жидкости. При этом мы будем
иметь дело, как правило, с несжимаемой жидкостью.
В качестве первого примера мы рассмотрим течение несжимаемой жидкости
между двумя параллельными плоскими стенками. Пусть уравнения этих
плоскостей будут соответственно
допустим еще, что внешних сил нет, что движение стационарно и происходит
параллельно оси Ох, так что
X = Y — Z = 0, v — vz — 0, vx — v (х, у, z).
Основные уравнения гидромеханики (5.1) при сделанных допущениях сильно
упрощаются:
Последнее из этих уравнений показывает, что V может зависеть только от у
и z; средние же уравнения показывают, что р может зависеть только от х;
но тогда первое уравнение (11.1), в левой части которого стоит функция от
одного только х, а в правой части функция от у и z, может выполняться
только в том случае, если левая и правая части этого уравнения являются
постоянными величинами. Итак, должно быть:
вытекающие из требования прилипания жидкости к ограничивающим неподвижным
стенкам. Легко найти частное решение уравнений (11.2) и (П.З), зависящее
только от г; в самом деле, в этом случае мы имеем:
d2v 1 др
дг2 |л дх ’
1! интегрирование этого уравнения даёт нам:
1 др
z — —h, z — h\
дх
др
\ду2 + дг2) ’
(d2v d2v\
— const.
дх
Для определения v имеем уравнение:
d2v . d2v 1 др
ду2 ' дг2 ц дх
и граничные условия
v = 0 при z~+h,
(11.2)
(11.3)
422
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
где А и В — две произвольные постоянные, для определения которых служат
два уравнения (11.3). Из этих последних уравнений мы вы-водим, что
Легко доказать, что полученное нами решение и есть то решение уравнений
(11.2) и (11.3), которое нам нужно. В самом деле, положим:
ограниченными в рассматриваемой нами области, то единственным решением
уравнений (11.4) и (11.5) будет и = О1).
Итак, при сделанных допущениях, течение жидкости определяется следующей
