Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
так как правая част:, третьего уравнения
(12.1) не зависит от г, то и левая часть не может зависеть от z и,
ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ
429
др
следовательно, есть постоянная величина
др
= const.
oz
Если давления в двух точках Мг и М2 на оси Oz, отстоящих одна от другой
на расстоянии I, обозначить соответственно через и р.2, то будем,
очевидно, иметь:
др __Р2—Р) _ Pi —Рг
dz I I
Итак, функция v(r, 0) удовлетворяет уравнению
(12.2)
fJL 1_*Е. (12 "11
дг2 'г2 дО2 ' г dr ~~ ,х dz к J
и очевидно граничному условию на стенке
v — 0 при г~а. (12.4)
Мы можем легко найти решение уравнения (12.3), зависящее только от г и
удовлетворяющее условию (12.4). В самом деле, если v — v(г), то (12.3)
может быть переписано так:
lL(r dv\—1 дР Г-
dr \ dr) р. dz '
интегрируя, получаем:
dv_ = ±_др_ А. dr 2а дг ' ’
деля на г и ещё раз интегрируя по г, находим:
V = ^ir2+Alnr + B- 02.5)
Произвольные постоянные А и В нужно определить из граничного условия
(12.4) и добавочного условия, что скорость v остаётся ограниченной во
всей рассматриваемой области. Но если АфО, то, как показывает формула
(12.5), скорость v становится бесконечной при г~ 0, т. е. на оси трубы;
поэтому надо непременно положить
Л = 0.
Условие (12.4) даёт теперь:
\_dp_
4а дг
откуда
сРА-В--
4;а дг
430
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. tl
Итак, мы нашли решение уравнений (12.3) и (12.4):
V=~4k~^~(a2~r2)-
Никакого другого решения задачи не существует. В самом деле, положим
v=- фг % о2 — гЪ>+и е*
тогда ясно, что функция и (г, S) должна удовлетворять уравнению
,______ д2и . 1 д2и .1 ди _____»
~ ~дг* + 7* 'Ш 'THF ’
т. е. должна быть гармонической функцией и, кроме того, должна
удовлетворять условию
и~ 0 при г —а.
Но известно, что гармоническая функция достигает своего максимума и
минимума на контуре, следовательно, должно быть и =э 0, откуда и вытекает
наше утверждение.
Заменяя, наконец, dpjdz его значением по (12.2), окончательно находим:
©= IrzJb^ — r'*). (12.6)
Распределение скорости подчиняется, очевидно, параболическому закону.
Наибольшая скорость, равная
<п — (ll — Pi) д2 л о 7ч
Щ — 4,л/ >
имеет место на оси трубы. Объём жидкости, протекающей в единицу
времени через поперечное сечение трубы, определяется, оче-
видно, по формуле
а
Q — /W v dr = ~ ?-=?*.. (12.8)
О
Деля это выражение на то2, найдём среднюю скорость течения “ Q Р\ Р2
1 /10 П\
V~na2~ 8ц I — 2 °‘ ( ^
Определим, наконец, силу трения т0, действующую на стенки трубки. Для
этого вычислим по формуле (5.15) значение величины
(dvz , dvr\ dv (Р\—Рг)г
ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ
431
при г = а и изменим знак (prz даёт силу, действующую на элементы
жидкости; на стенку же будет действовать та же сила, но в прямо
противоположном направлении); в результате получим;
(Р\ —Р2) а __ 4и.у
21
(12.10)
В опытах обычно определяется величина рг — р2 = Др. Поэтому решим
уравнения (12.8) и (12.9) относительно Д/7:
д 8;j./Q . 8\>.lv ...
/7, —/72 = Д/7 = -^-; Д р = ^-- (12.11)
Мы получаем, таким образом, закон Гагена — Пуазейля:
При ламинарном течении падение давления пропорционально секундному объёму
протекающей жидкости и длине трубы и обратно пропорционально четвёртой
степени радиуса трубы. Или иначе; падение давления пропорционально
средней скорости течения и длине трубы и обратно пропорционально квадрату
радиуса трубы.
Только что выведенные соотношения были экспериментально
найдены независимо друг от друга Г. Гагеном в 1839 г. и Пуазей-лем
(Poiseuille) в 1840—1841 гг. Мы имеем, таким образом, в этом случае
блестящее совпадение результатов опыта с выводами теории.
В заключение настоящего параграфа остановимся ещё на вопросе о пределах
применимости полученного нами теоретически течения Пуазейля. Мы уже
несколько раз упоминали, что существуют две формы течений жидкости:
ламинарная и турбулентная. Ламинарная
форма течения характеризуется правильным движением частиц жидкости, как,
например, это имеет место в течении Пуазейля. Напротив, в турбулентном
движении частицы двигаются весьма беспорядочным образом, так что при
турбулентном движении в трубе на главное движение в направлении оси трубы
налагаются беспорядочные пульсации движения как в направлении оси трубы,
так и перпендикулярно к этому направлению. Наглядно можно показать
различие этих двух форм течений, если ввести в некотором месте оси трубы
небольшое количество окрашивающей субстанции; тогда при ламинарной форме
течения мы увидим одну резко окрашенную струйку жидкости, в то время как
при турбулентной форме течения вся жидкость окажется окрашенной, что
показывает на сильное перемешивание частиц жидкости.
Мы уже упоминали выше, что закон Гагена — Пуазейля, выражающийся
формулами (12.11), для турбулентной формы течения перестаёт иметь силу.
Таким образом, закон сопротивления при переходе от ламинарной формы
течения к турбулентной резко меняется. Это изменение закона сопротивления
является, пожалуй, наиболее важным критерием для различения ламинарной
