Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
сечения цилиндра в соответствующем плоском течении, причём контур
пробегается в положительном направлении, т. е. так, что область при
обходе этого контура остаётся слева.
Теперь остановимся на примерах1). В качестве первого возьмём следующий
пример. Пусть и С2 — окружности радиусов гг и г2 с общим центром в начале
координат, и пусть vl = U, 112 = 0, так
>) См. также В г i 11 о ц i п М., Lemons sur la viscosite des liquides et
des gaz, 1 (1907), стр. 61—73, Paris,
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СТАЦИОНАРНОГО ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ
435
что имеем дело со скольжением внутреннего цилиндра внутри другого
неподвижного цилиндра. Известно, что безвихревое течение между двумя
окружностями определяется комплексным потенциалом
W ?
-рт\nZ-j- const.,
где мы вводим, как обычно это делается в теории плоского течения,
комплексную координату
Z = х -j- iy,
причём Г есть циркуляции скорости как по окружности С\, так и по
окружности С,. Вводя полярные координаты г и 0, будем иметь:
(в-
Г
2т.
In г-{-С.
Граничные условия
: U : О
при
»
г = г 1
Г — Г о
определяют нам Г и С:
Г:
2 т.и
1п гг — In г, ’ Следовательно, мы получаем, что
v = U
U In г2 In г2 — 1п гi
In г, — In г
In r2 — In т i
(13.6)
и что сила трения со стороны жидкости на подвижный цилиндр, отнесённая к
единице длины, равна
Г= —т——. (13.7)
In r2— In г, v '
Знак минус берётся потому, что циркуляция скорости по контуру Cv
Из формулы (13.7)
-Г.
пробегаемому по часовой стрелке, равна видно, что при заданном диаметре
внешнего цилиндра сила трения будет тем больше, чем уже зазор между
цилиндрами.
В качестве второго примера возьмём движение пластинки шириной 2с — С'С
внутри эллиптического цилиндра АВА'В', полуосями которого являются а и Ь,
а фокусы лежат как раз в точках С и С'
(рис. 156). Таким образом, здесь С1 есть Дважды пробегаемый отрезок СС',
а С2 есть эллипс АВА'В'. При этом эллиптический цилиндр мы считаем
неподвижным, а пластинку СС предполагаем перемещающейся парал* Дельно оси
Oz со скоростью U.
28*
436
ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
[ГЛ. II
Конформное отображение области 5 на кольцо 1 < |С| < R плоскости С даётся
в данном случае, как известно, формулой
причём
так что
z=4(c+i),
yrj л ~f~ Ь о, —|— b а -|— b
~ с ~ Vа2— Ь* ~~ * а — Ь
Мы можем теперь применить формулы (13.6) и (13.7), в которых надо принять
rx= 1, r2 — R, г — |С|. В результате для скорости вязкой жидкости
получаем общее выражение
?" = W,nTfr <138>
а для силы трения, испытываемой пластинкой СС! (с обеих её сторон) и
отнесённой к единице этой пластинки:
Т = — —------г^тгтт- (13-9)
in/? If
'"Ш)’
II. Ф 0. В этом случае скорость v удовлетворяет уравнению Пуассона
(13Л0>
если для краткости ввести обозначение
A = (i3.ll)
p. OZ \>-1 '
где /?, — р2 есть падение давления на отрезке длины /, расположенном
параллельно оси Oz.
Наиболее важным случаем этого типа является вопрос о движении вязкой
жидкости в неподвижной цилиндрической трубе с образующими, параллельными
оси Oz. Если поперечное сечение этой трубы есть кривая С, то граничным
условием для искомой функции v будет служить
© = 0 на С. (13.12)
Мы имеем в этом случае обобщение течения Пуазейля на случай трубы
произвольного сечения.
К задаче решения уравнения (13.10) при граничном условии (13.12)
приводится также задача теории упругости о кручении
призмы, а также задача о плоском движении идеальной несжимаемой
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
437
жидкости в области 5, контур которой С вращается с постоянной угловой
скоростью и, наконец, задача о прогибе мембраны под действием равномерной
нагрузки. В связи 'с этим задача интегрирования уравнения (13.10) при
граничном условии (13.12) решена для весьма большого числа контуров ’).
Мы ограничимся одним простым примером. А именно, легко найти решение
уравнения (13.10) в виде полинома второй степени
v (х, у) — Ах2 -(- By2 -j- D.
Достаточно для этого принять
А + В = — у. (13.13)
Условие (13.12) показывает, что уравнением контура С является
Да2 + By2 Д- D^O.
Теперь легко добиться того, чтобы контур С оказался контуром эллипса
1/2
^--1=0. (13.14)
Для этого достаточно принять
Л = —В = —
а2 Ь2 ’
чтобы удовлетворить также и условию (12.13), нужно принять D ka2b2
(Pi— р2) a2b2
2 (a2 4- ь2) 2-л/ (а2 + Ъ2)
и. следовательно,
-?-?)• (,ЗЛ5)
Итак, функция (13.15) решает задачу о ламинарном течении вязкой жидкости
через трубу эллиптического сечения. Полагая а — Ь, мы вновь восстановим
решение задачи о течении Пуазейля. Простое вычисление даёт для объёма
протекающей в единицу времени через трубу жидкости выражение:
(13Л6>
§ 14. Нестационарное одномерное течение. Рассмотрим теперь случай
движения вязкой жидкости более общий, чем тот, с которым мы имели дело в
предыдущем параграфе, а именно отбросим условие стационарности.
') См„ например, обзорную статью Pose hi Th., Bisherige Losungen hes
Torsionsproblerns, Zs. f. angew. Math. u. Mech., 1 (1921), стф. 312—328.
438
ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
[ГЛ, IT
