Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Там нам пришлось прибавить пятое, заимствованное из термодинамики
соотношение, и лишь тогда мы сумели замкнуть систему дифференциальных
уравнений. Однако то уравнение, которое мы называли в предыдущей главе
уравнением притока тепла, носило частный характер — мы рассматривали там
движение с большими скоростями и считали, М'.) частицы не успевают
обмениваться теплом с окружающим пространством. Сейчас мы рассмотрим
общий случай. Имея в виду конкретные приложения, мы, как и прежде,
ограничимся рассмотрением совершенных газов.
416
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IX
Уравнение притока тепла мы выведем из принципа сохранения энергии.
Рассмотрим произвольный объём (т) конечный или бесконечно малый,
вырезанный внутри жидкости замкнутой поверхностью (S). Этот объём
обладает массой:
fpdx,
(->
где dx — элемент объёма (т). Так же как и в случае газовой динамики, этот
объём обладает двумя видами энергии: кинетической К и так называемой
внутренней. Первая может быть представлена в виде
« = /
м
вторая, для совершенных газов, имеет вид:
J cvTpdx,
(т!
где cv — теплоёмкость при постоянном объёме, Т — температура.
Изменение энергии частицы (т) происходит теперь, в отличие от того, что
было в газовой динамике, не только за счёт работы объёмных и
поверхностных сил, приложенных к частице, но и за счёт притока тепла к
этой частице извне. Основным видом притока тепла к частице является
приток, происходящий при помощи теплопроводности. Если обозначим
коэффициент теплопроводности через k, то количество тепла, прошедшего
благодаря теплопроводности через поверхность частицы внутрь её за
промежуток времени от tx до t2 будет:
./ / кж‘13‘“-
t, (5)
где п — внешняя нормаль к элементу dS нашей частицы.
Пусть, кроме того, е будет происходящей за счёт других причин приток
тепла за единицу времени и в единице объёма частицы. Это может быть,
например, притоком тепла от излучения. Тогда к предыдущему интегралу мы
должны прибавить величину
/ fsdzdL
и (Т)
Работа объёмных и поверхностных сил за тот же промежуток времени будет:
и t,
j J pF ? v dx dt j j pn ? v dS dt,
t, (i> I, (S)
где F— вектор силы, отнесённой к единице объёма.
УРАВНЕНИЕ ПРИТОКА ТЕПЛА
417
Итак, мы можем записать:
\а f f cvTp d-A — | A J p ^dx+J cvTp dA =
I (t) (t) >t = u *? W W b = f,
tl
^ /*1 / / kld~dSJt~Af PF-‘vd^ + Af pn-vds\dt,
t\ I (*) (i) H) (S) J
(10.1)
где интегралы в левой части берутся, как показывают значки, один раз в
момент t2, другой раз в момент tx, а А — термический эквивалент работы.
Деля обе части нашего равенства на t2— tv устремляя t2 к tx и переходя к
пределу, получим:
A4tf 2r-?dz + wfc"Ted''==
(-) w
= f edt -f f k ~ dS + A f F • vp dt ~j~ A pn • v dS. (10.2)
w (s> w (i)
По самому смыслу составления уравнения (10.1) мы следим за движением
одной и той же частицы, так что в уравнении (10.2) мы слева имеем
индивидуальные производные по времени.
Так как масса частицы сохраняется, мы можем заменить выражение вида
4rf^dx'
где Ф — какая-то функция координат и времени, на
/р4гл1>-
С другой стороны, по теореме Грина,
j' k dS—j' div (k grad T) dt
(S) w
') Подробно это доказано было в первой главе при выводе уравнения притока
тепла в § 3.
27 Теоретическая гидромеханика, ч, II
418
движение вязкой жидкости
[ГЛ. II
I рп • vdS = А ? v cos (я, х)-\-ру • v cos {п,
у) +
KS) (S)
-f-pz • ю cos in, ,z)\ dS =
= Л / { Ш {P* ? + -k {py • ®} + Tz (p* ' }
d~.
Таким образом мы можем записать (10.2) в виде:
А / \р Ж v ‘ v + I CvP ЧГ dx = / sdx + f div (k Srad 7) d~ +
W W M o>
4- aJ p F-vdz + A'I {-iLipx.v)+*-ipy .v) + A-iPz .®)Jrfx.
W M
Собирая все члены в обеих сторонах под один знак интеграла, вспоминая,
что объём (т) совершенно произволен и предполагая непрерывность
подынтегральных функций, получим уравнение притока тепла в виде
Y?WV ' ®i-^p4r==e + div^&radr) + А?р-'0 +
+ A{~px-'0 + ~Py-v-\-~Pz-‘v). (Ю.З)
Соотношение это и является тем пятым уравнением, которое следует
прибавить к четырём уравнениям § 4 в случае сжимаемой жидкости.
Температура Т связана с давлением р и плотностью р соотношением (для
совершенного газа) Клапейрона:
р = RpT.
Вид s следует, конечно, уточнить при решении той или иной задачи. В
приложениях этого уравнения, которые будут иметь место в этой главе, мы
будем считать в = 0.
Уравнение (10.3) может быть преобразовано к более простой форме, если
использовать уравнения движения (4.8). Действительно, умножая скалярно
обе части (4.4) на V, получим
?, . дрх , дРу . дРг „
?F- v--pw -v + v- + ® ® ’ -gj" = °- (10-4)
Но w = dvjdt, так что
dv р d
J [0] уравнение притока тепла 419
и мы можем написать по (10.4):
1 d дрх др., др,
-2?1й'0 ' V = ?F-V + ‘° ’ аГ+ ® + ® • IF’
Вставляя это значение р ~ v ? v в (10.3) и производя сокращения, получим
dT j -гч I л ( dv , dv , dv )
cvP чг = в+div (k grad Г)+Л1Л,'й + Ру^+Рг'?[.
Вспоминая, наконец, как выражаются компоненты векторов рх, ру, рг
[формулы (3.21)], получим, после простого приведения членов, уравнение
