Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
полностью удовлетворять всем условиям для функции w (2, t). Поэтому,
применяя формулу (14.21), находим, что в нашей задаче
р. — — Т при 2 = 0.
(14.23)
w = — Т при 2 = 0.
СО
г
2V\t
Дифференцируя это выражение по 2, определим p. d2vjdz2, а тогда из
Уравнения (14.24) найдем:
446
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Интегрируя полученную функцию по t и замечая, что при ?.= 0 v обращается,
вследствие (14.22), в нуль, находим:
t
Т Г
4 '4
dt
Yt '
(14.25)
Для численных подсчётов удобнее преобразовать эту формулу. Введём вместо
t новую переменную С, положив
dt _ zd’Q
2[yv’ v?"
с =
Yt =?
2 fvt’ r " % У V ’ Yt С2 /v ’
Так как при ^ — 0 имеем С = со, то получим:
Z
2 YTt
V(z, t) -.
Простое вычисление показывает, что
Л:
-X2
W
В результате получаем для функции v(z, ?) выражение:
v (z, t) — ?
Й77Г 2z
A'it
ТЕ
/*-6
2 V vl
или, что то же, по (14.20):
v{z, f) = — { — z+z$l
\2 Y*
(14.26)
При бесконечном возрастании t последний член в скобках стремится к нулю;
второй остаётся конечным, а первый бесконечно растёт, так что мы имеем
приближённое равенство
v (z, t):
при t-> оо;
при z — 0 мы имеем совершенно точно: «(0. f)-2 ?/".
(14.27)
(14.28)
§ ]5] СТАЦИОНАР. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ 447
Мы видим, таким образом, что течение всюду стремится принять ту скорость,
которая имеет место на свободной границе. При этом на какой-либо глубине
z скорость v достигает половины значения скорости на свободной границе в
тот момент t, когда _1
‘ " ч" 2У*
где
/?-“ -С + СФ (С) = —г7=5-. (14.29)
2 \r4t
(14.30)
Решая уравнение (14.29), находим С = 0,35, так что глубина 2, на которой
скорость v равна половине скорости на свободной границе, определяется
уравнением z = 0,7 Y"vt.
Так, например, для воды v = 0,018 см2/сек; примем, далее, 2—100 м = 104
см, тогда
1,13 X 1010 сек- = 359 лет.
0,49ч
Отсюда видно, что указанным образом морские течения объяснить нельзя, так
как в движение приводятся только поверхностные массы воды; следует, по-
видимому, думать, что движение воды будет не ламинарным, а турбулентным;
грубо можно учесть турбулентный характер движения таким образом, что
вместо коэффициента вязкости v нужно взять значительно больший
коэффициент турбулентной вязкости ч'\ тогда время, в течение которого
внутренние массы жидкости придут в движение, значительно уменьшится.
Кроме того, в задаче о морских течениях очень существенную роль играет
отклоняющая сила вращения земли, которой мы в нашем примере пренебрегали.
Мы заметим только, что при учёте отклоняющей силы вращения Земли течение
жидкости не будет уже одномерным и что скорость не будет с течением
времени возрастать до бесконечности, как в нашем примере, а будет
оставаться ограниченной.
§ 15. Стационарное течение жидкости между двумя цилиндрами. Переходя к
рассмотрению плоских течений вязкой несжимаемой жидкости, начнём с
простейшего примера движения жидкости между двумя концентрическими
цилиндрами. Пусть жидкость заключена между двумя круговыми соосными
цилиндрами радиусов гг и г2 (рис. 157), вращающимися около общей оси с
постоянными угловыми скоростями Wj и ш2- Определим движение жидкости,
считая его стационарным, а внешние силы отсутствующими. Вводя
цилиндрические координаты г, 0, z, можем, очевидно, считать, что движение
происходит по окружностям с центрами на оси Oz, так что
vz = vr = Q, т/.j = v(r), p = p(r).
Очевидно, проще всего использовать уравнения движения вязкой жидкости в
цилиндрических координатах (5.14), которые в данном
448
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. л
случае сильно упрощаются:
1 dp р dr d2v . 1 dv
dr2 ' r dr
v2 ~
— 0.
(15.1)
Уравнение для v есть уравнение типа Эйлера, поэтому два его
частных решения должны иметь вид: Л
подстановка этого значения v в уравнение (15.1) даёт
k(k— 1)4-А— 1 =0,
откуда получаем следующие значения k:
kx —— 1, &2 — 1
и следующие частные решения:
1
vx = r, «а = -.
Итак, общее решение уравнения
(15.1) есть
V = Ar + • (15-2)
Произвольные постоянные А и В нужно определить из граничных условий,
которые, очевидно, имеют вид:
v ?? v ?
:“Vi
• о
при
так как имеет место прилипание жидкости к поверхности цилиндров. Простое
вычисление определяет Л и Л и даёт окончательное выражение для v:
(«„г? — (О,Г?) Г2 4- (а),—<о9)Г?Га
2 2 / 2 2 ±Л±' (15‘3)
г \Г2 ~ rl)
Вычислим, какая сила трения действует на элементы внутреннего и внешнего
цилиндров. Применяя формулы (5.15), находим:
2(Х (о), — Ш2) г\г\
Рг 9
I dv v \ 2цВ
\ Т) = гГ=='
(15.4)
Рассмотрим, например, часть цилиндра Си высота которой в направлении оси
Oz равна единице. На элемент rx dd этой части поверхности действует в
направлении, касательном к цилиндру, сила p^rxdd, момент которой
относительно оси цилиндра равен
§ 15] СТАЦИОНАР. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ 449
Поэтому полный момент сил трения, приложенных к элементам рассматриваемой
части цилиндра Cv равен
0 0
4ки. Ао, — со0\ г7Го
Mj =-----------------------------------------(15.5)
