Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
U
где 10 есть окружность произвольного радиуса с центром в начале
координат, и интеграл берётся по контуру этой окружности в положительном
направлении.
Так как
/0(2 V^) = 70(2/V7c),
то, применяя предыдущую формулу, найдём:
h
и, следовательно,
/е-Ч,(2 Л
О I \о /
Внутренний интеграл сразу берётся
ЛЧ)
1 1
О 1-«
•, = а
:=о
И ПОЭТОМУ
(,623)
•р
h
Радиус окружности lQ можно брать по произволу. Мы воспользуемся этим
произволом для того, чтобы получить для S две формулы, одной из которых
удобнее будет пользоваться для малых значений г/а, другой для больших. А
именно, выберем сначала радиус окружности /0 меньшим, чем р. В этом
случае
j’ i!^L = o, (16.24)
') См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 (1939), стр.
677.
§ 16] ДИФФУЗИЯ ВИХРЯ 457
так как подынтегральная функция голоморфна внутри окружности /0. Мы
имеем, далее, на окружности /0 разложение
11 1 и
м-р Р, “ Р Р2 Р3 " л р*
и поэтому
р®
2т ,] и — Р 2дар* 'I
h *=1 г /„
Но по той же основной формуле теории бесселевых функций мы
имеем
j П „л f'a
Д ^ ик~1е‘И “ du = (i Yap)k J_k(2i Yap) — (—/Кар)* У6 (2/ К°ф)-
Вводя, далее, функции Бесселя с мнимым аргументом
(г) = \ Jk (to).
Iя
легко найдём, что
1 г I ак~Хе^ “du=(Уap)*(2 ^ap)*
2 л/
Итак,
1
2т
ft = i
Теперь по формулам (16.23) и (16.24) легко получим первую нужную нам
формулу:
со к
2 (г, 0= SV-p-a2 (f)TA» (2 Vw)- (16.25)
*=i
Возьмём теперь в формуле (16.23) радиус окружности 10
превосходящим р. Тогда по известной теореме о вычетах будем
иметь:
1 Г ?du_f (16.26)
2т J и — р
/о
Далее, на окружности /0, вследствие того, что | и | > р, будем иметь
разложение
458
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
и поэтому
1 2 га
du:
k=0 /о
СО
== — ^ рк (/ /ар) *Уй(2//а^) =
k = 0
? 2 р* (/ У«рГ* ikIk (2 /ар) = - 2 (т)2 4 (2 /ар). (16.27)
& -- О
* = 0
Вследствие формул (16.23), (16.26) и (16.27), находим:
со к
2 (г, t)=Q0- Qo^-“-pS (^)2 7* (2 У*?)- <16'28>
k = 0
Возвращаясь к прежним независимым переменным, получим окончательные
формулы:
в л о(?)*'.(?)?
k = l rt+a2 00
Sir. О = a0-2,.-— 2(f) /„(?)•
(16.29)
Совершенно ясно, что первой из этих формул следует пользоваться при r^-а,
а второй при г < а. Пользуясь таблицами бесселевых функций, нетрудно
теперь вычислить значения 2 (г, t) для различных значений г и С Рис. 158
даёт зависимость 2/20 от г fa для значений 2 vt „1 1 , а
-^- = 0, , 1. Ясно видно, как вихрь расплывается по всему
пространству.
Чтобы иметь количественную характеристику быстроты расплывания вихря,
найдём, через какой промежуток времени г значение завихренности в центре
вихря будет равно 20/2. Последняя из формул (16.29) показывает, что
2(0, t) = Q0
(l — е м).
и, следовательно, т должно определяться из формулы
а2
' 4vIn 2
(1.
' 0,36 — .
(16.30)
(16.31)
Для воды при v = 0,01 см21сек имеем т = 36а2, например при а= 1 с.и будет
т = 36 сек. Для воздуха при v = 0,133 см2/сек имеем
ДИФФУЗИЯ ВИХРЯ
459
^^=2,7а2, т. е. при а=1 см будет т = 2,7 сек. Но уже при я= 1 .« окажется
т = 450 мин. Отсюда ясно видно, что на вихрях малых размеров диффузия
проявляется гораздо сильнее, чем на больших. С этой точки зрения при
рассмотрении атмосферных движений больших масштабов (циклона,
антициклона) мы могли бы совсем пренебрегать вязкостью, считая воздух
идеальной жидкостью. Однако нужно иметь в виду, что движения атмосферы,
особенно в нижних её слоях, носят часто турбулентный характер;
турбулентность же действует на вихри таким же образом, как вязкость.
Иногда грубо оценивают диффузию вихрей, происходящую под действием
турбулентности, формулами, аналогичными вышеприведённым, только
коэффициент v берут гораздо большим (в 100 000—1 000 000 раз).
В качестве второго примера рассмотрим цилиндрический вихревой слой.
Примем, что в начальный момент вихри всюду равны нулю, кроме окружности
радиуса а, на которой мы имеем равномерное распределение вихрей, причём
полная интенсивность этих вихрей равна Г. Математически это означает, что
функция й0(7?) равна нулю всюду, кроме бесконечно малой окрестности точки
а, причём
СО
J 20 (R) 2kR dR = Г. (16.32)
о
Но тогда ясно, что формула (16.17), в которой все подынтегральные
элементы равны нулю, кроме элементов, соответствующих значению R = а и
бесконечно близким значениям, даст нам
Н г2 + а3 / \
'.(?)• <16-33>
Рис. 159 даёт вычисленную по этой формуле зависимость Q/Г от г [а для
значений 2 v^/a2 = 1/6, !/4, lj2, 1. Совершенно отчётливо видно, как
вихрь, сконцентрированный в начальный момент времени
вдоль окружности радиуса а, начинает расплываться в обе
стороны,
Рис. 158.
460
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. и
быстро заполняет всю внутренность круга радиуса а, после чего происходит
процесс расплывания вихря по всей плоскости.
сматриваемого нами случая цилиндрического вихревого слоя следующие
результаты:
§ 17. Течение в диффузоре. Очень важным для понимания механизма течения
вязкой жидкости вблизи стенок является подробное изучение точного решения
