Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
п.
Пусть теперь угол а задан. Из условий (17.18), (17.20) и (17.21) мы сразу
можем вывести неравенство:
, AR . F dU ,/"R
У 6 еЧ y{ei-U){U-e2)(U-e3) 6 ’
откуда следует, что
ер > 1.
С другой стороны, из (17.22) вытекает, что
<( тг2 — а2,
6
т. е. вследствие предыдущего неравенства:
(17.23)
Итак, расходящееся течение в диффузоре рассматриваемого типа не может
иметь места при больших числах Рейнольдса. Следовательно, при больших
числах Рейнольдса вытекание жидкости из Диффузора может происходить
только таким образом, что внутри Диффузора области вытекания жидкости
будут сменяться областями втекания.
30*
4Й8
движение вязкой жидкости
[ГЛ. и
Таким образом, для случая расходящегося течения в диффузоре заданного
угла раствора а < it мы имеем следующую картину; при малых числах
Рейнольдса имеет место симметричное течение рассматриваемого типа; при
увеличении числа Рейнольдса наступит момент, когда на стенке не только U,
но и U' обратятся в нуль.
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса будут существовать только
такие решения, в которых области вытекания жидкости будут сопровождаться
областями втекания. А именно, мы будем иметь вытекание в некоторой
области —(3 < § < §, где р < а/2, и втекание около стенок в областях р <
0 < а/2 и —а/2 < 0 <—р. Будут существовать также и более сложные картины
течения, в которых имеет место вытекание около одной стенки (в некотором
интервале — а/2 < 0 < у) и втекание около другой (у < 6 < а/2). Число
таких чередующихся областей втекания и вытекания может быть сколь угодно
большим, причём при увеличении числа Рейнольдса растёт и минимальное
число чередующихся областей вытекания и втекания жидкости.
Если бы вязкость отсутствовала, то течение жидкости представлялось бы
простыми формулами ]):
4=4. P = P«—g*. (17.24)
т. е. жидкость вытекала бы во всех направлениях с одинаковой скоростью.
Мы видим, что расходящееся течение в диффузоре при больших числах
Рейнольдса резко отличается от соответствующего потенциального течения.
Обратим ещё внимание на то, что расходящееся течение в диффузоре есть
течение против градиента давления, так как в потенциальном потоке
давление быстро убывает при г—> 0.
В случае стока мы имеем совсем другую картину. Напишем для этого случая
основные формулы. Мы знаем, что в случае стока
e2<t/<0, е,>0, e3< —(17.25)
Считая течение симметричным относительно оси дуффузора, мы должны
принять, что минимальное значение функции U, равное е2, получается при 0
— 0. При увеличении 0 увеличивается и U, следовательно, в формуле (17.16)
надо взять знак плюс и за нижний предел надо взять е2. Итак, в случае
стока
0т/^= f Т:--. ,dU^... _. . (17.26)
3 / V{.ex-U)(U-ei)(U-e3)
е2
‘) Эти формулы легко получить, интегрируя (17.1) при v = 0 и применяя
формулу (17.9).
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ
469
Условие (/(а/2) = 0 даёт равенство о
dU
aV~*~ f/(i;
... U)(U~e2){U-e3)
(17.27)
а последнее условие (17.14) — равенство:
о
l/"~~=— [ U~U . • (17.281
У 6 ./ y{ei-U){U-et){U-et)
e-i
Наконец, мы имеем основное соотношение (17.15):
в, + «2 + «3 = -|- (17'29)
Покажем, что для случая стока симметричное решение
рассматриваемого типа имеет место как для случая очень малых, так
и для
случая очень больших чисел Рейнольдса.
Случай малых чисел Рейнольдса мы разберём сразу и для случая стока и для
случая источника. Проще всего при этом исходить из установленного нами
выше уравнения (17.12):
t/"4-4f/ + R(72_D==0,
где D есть произвольная постоянная. Так как R считается малым, то в
предыдущей формуле можно пренебречь членом R7/2; в результате получим
уравнение
Ua + W = D, (17.30)
которое непосредственно интегрируется,
U = ~-\- A cos 29 -j-В sin 29,
причём А, В и D суть произвольные постоянные, подлежащие определению из
трёх условий:
а/2
?/( + !) = 0, f l/(fl)tffl=± 1.
-а/2
Эти условия дают нам следующие равенства:
470
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Считая, что угол а меньше тс, сразу получим, что
В = 0,А = -.--------^-------, p^-,-3L4c0Sa ,
sin а — a COS a sin а — а cos а
причём верхний знак всегда относится к случаю источника, ниж-
ний—к случаю стока.
Итак, искомое решение имеет следующий вид:
U (8) = ±-c?s.2-9~.cosn.. (17.31)
4 sin а — а COS а ' '
Вспоминая формулы (17.2) и (17.11), получим для радиальной скорости
течения выражение:
9)= Qicos_26_-cos^
'Г (sin а — а COS а) v ’
пригодное одновременно и для случая источника и для случая стока (см.
рис. 160, вычерченный для случая источника при а = 90°). Как видим,
распределение скорости в случае малых чисел Рей-
нольдса получилось по косинусоиде как для случая расходящегося, так и для
случая сходящегося течения.
Остановимся ещё на частном случае малого угла раствора диффузора. В этом
случае результат значительно упростится, если функции, входящие в формулу
(17.32), разложить в ряды по возрастающим степеням 6 и а и ограничиться
главными членами полученных разложений:
v(r, 0) = ^^=^!. (17.33)
Как видим, получилось распределение скорости по параболе, чего и
