Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 99

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 183 >> Следующая

Итак, допустим, что движение вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии
внешних сил происходит параллельно оси Ох
vy = vt = 0.
Уравнение неразрывности показывает, что vx не зависит от х, т. е.
vx — v (у, с, t).
Уравнения гидромеханики поэтому сильно упрощаются:
Lap=ja?i 4-^_ *l- -^.=^?.=0 П4 п
Р дх \ ду2 дг2) dt ’ ду дг \ • )
Из последних уравнений видно, что р зависит только от х и t. Но тогда в
первом уравнении левая часть не зависит от у и г, а правая часть не
зависит от х; следовательно, как левая, так и правая части являются
функциями одного только t\
= /«>? (14.2)
Если /(/) —0, уравнение для v принимает вид:
/ d2v . d2v\
dt ' Uy2 + дг2 )' ^ 4' ^
ди / d2v . d2v \
Ж ~~ V Jz2 ) '
Если же f (t) ф 0, то введём вместо v новую функцию v, положив
t
v = v-\- J f(t)dt; (14.4)
тогда
^ = fU)
dt dt ' 1 w
и, следовательно, v будет удовлетворять тому же уравнению (14.3); правда,
граничные условия при этом несколько изменяются.
Итак, во всех случаях нестационарного одномерного течения дело сводится к
интегрированию уравнения (14.3). Это уравнение есть основное уравнение
теории теплопроводности; известно решение большого числа частных задач,
связанных с этим уравнением, что даёт возможность определить большое
число соответствующих течений вязкой жидкости. Конечно, при решении
уравнения (14.3) необходимо также учитывать соответствующие граничные и
начальные условия; последние сводятся к заданию функции v для начального
момента времени t — 0. Если и граничные и начальные условия не зависят от
координаты у, то и решение v уравнения (14.3) не будет зависеть от у, а
тогда функция v(z, t) будет удовлетворять уравнению теплопроводности для
линейного случая
dv d2v ,1 .
§ 14i НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 439
Мы рассмотрим задачу о движении вязкой жидкости, занимающей всё
пространство, причём будем считать распределение скорости в начальный
момент известным и заданным формулой
v(z, 0)--=F(z). (14.6)
Для интегрирования уравнения (14.5) можно было бы применить метод Фурье;
мы применим другой метод — метод источников.
Допустим сначала, что функция F (z) отлична от нуля только в окрестности
точки 2 = 0 и что
ОО
f F(z)dz = Q. (14.7)
— СО
Ясно, что в этом случае скорость v (z, t) в какой-либо точке будет
функцией следующих четырёх величин:
v(z, t) — Ф (z, t, v, Q),
причём очевидно также, что v будет прямо пропорционально Q,
так что
v(z, t) — Qty (z, t, v).
Применим теперь соображения теории размерностей. Мы имеем, очевидно,
следующие размерности отдельных величин:
[z\ = L, [t} = T, [v] = Z,2r_1, [Q] = Z.27’~1.
Но тогда, применяя те же соображения, что в § 9, мы легко придём к
тождеству
i«’(2. t, v) = '}’(L2, Tt, ~ v).
Полагая здесь 71 — , L = 1__ , легко получим:
* У 'it
,,ли W(2’'- v,=tV/(v)-
Итак,
*<*•'> = ' (if)
'Де положено
440 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. п
Но функция v(z, t) должна удовлетворять уравнению (14.5). Составляя
dvjdt, dv/dz, d2v/dz2, находим:
it=—ww/(Е)—тт®тд“ — if №)+2'ге)1, 1г=7=г
Г ® ? )’ = $= I/' ®+*/" «>,.
Поэтому уравнение (14.5) даёт нам равенство
— 1 [/ (0 + 2-/' ©] = 2 [/' © + 2;/" ©];
поделив обе части этого равенства на )/"$, получим:
/(?) + уТ/' (?)-ь 4 [-L-/' © + /гг (?)] - о.
ИЛИ
^rlvT/(?)]+ 4A[vT/'(?)J = o.
откуда
УГ [/(?) +4/' (Е)] = С.
Но при ? — 0 левая часть этого равенства обращается в нуль (если считать
/ (0) и f (0) ограниченными) и, следовательно, С = 0. Итак,
4/' © + /© = 0.
Интегрирование этого уравнения даёт нам
__Е_
/(?) = лГ«.
где А есть некоторая численная постоянная. Итак,
Чтобы найти значение постоянной Л, составим
fv(z, t)dz = ^r fe'Mdz.
Но известно, что
со
J е~х‘dx = Уъ. (14.8)
и] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 441
Полагаясь здесь получим, что
2
Таким образом, имеем:
2 Y
СО
-^=г f е ы dz — Y11 • (14.9)
— СО
оо
J v (г, t) dz = 2/1Q У~тс,
— СО
со
lirn Г 1/(2:, 0 dz = 2Лф |Лгс;
*->о J
— со
но по условию (14.7) левая часть должна равняться Q, поэтому необходимо
взять
в частности,
21/Т ’
и мы окончательно находим следующее выражение для v:
Z2
v(z,t) =—(14.10)
2VD7
Нетрудно теперь разобрать и общий случай начального задания (14.6). В
самом деле, уравнение (14.5) линейно, поэтому сумма частных его решений
тоже будет решением этого уравнения. Разобьём теперь всю ось Oz на малые
участки и, рассматривая участок а < z < а -)- da., положим:
v(z, 0) = 0 вне участка а < z < а -f- da, v(z, 0) = F (а) на участке
a<z<a-|-da.
Ясно, что для величины Q мы получаем в этом случае значение
a + da
J F(z) dz = F (a) dai.
a
Поэтому рассматриваемый элемент d-з. даёт, согласно формуле
(14.10), в которой надо, очевидно, заменить z на z — а, для функции
442
движение вязкой жидкости
[ГЛ. и
v (z, t) следующее выражение:
',(z-‘) = WSie “ F{aU’-
Интегрируя полученное выражение по всем элементам do, мы и найдём
требуемое выражение для функции v(z, t), удовлетворяющей уравнению (14.5)
и начальному условию (14.6):
СО
1
V (z, t) =—J= e ™ F (a) do. (14.11)
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed