Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
2 у т.-it J
— JO
Можно, впрочем, если не считать предыдущий вывод достаточно строгим,
непосредственной проверкой показать, что функция (14.11) удовлетворяет
как уравнению (14 5), так и начальному условию (14.6). Покажем, например,
последнее. Для этого сделаем в интеграле (14.11) замену переменной,
положив
л—z-j-2 С |Л/t,
тогда интеграл примет вид:
>.Х)
v(z,t)=-±=- f e^2F(z+2(,yr;d)dL (14.12)
1 " Joo
Положив теперь ^ = 0, увидим, что вследствие равенства (14.8)
СО
v(z, 0) = ~ f e-',F(z)dt = F(z),
У т. <>
— со
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь два простых примера применения полученной формулы.
Пусть в начальный момент распределение скорости имеет следующий вид:
( vn, если г > 0,
v(z, 0)= 0 ^ (14.13)
{ — V0, » 2 < 0,
так что плоскость Оху является в начальный момент поверхностью
разрыва скорости. Можно сказать, что в начальный момент вдоль
плоскости Оху расположен вихревой слой. Посмотрим, что будет происходить
с этим вихревым слоем с течением времени. Применяя формулу (14.12) к
данному случаю, получим:
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
443
ибо
СО
— СО
Q
Точно так же
о
/в-Р dC = / в-рЛ;
О
поэтому получаем окончательную формулу:
г
2Kv/
(14.14)
Функция
*
(14.15)
играющая большую роль в теории вероятностей, носит название функции
Крампа или интеграла вероятности. Для этой функции имеются таблицы. Из
формулы (14.8) следует, что Ф(оо)=1, с другой стороны, ясно, что Ф (0) =
0.
При t > 0 функция v (z, t) будет уже непрерывной функцией от z, так что
при t > 0 скачка скорости уже нет. Можно сказать, что он рассеялся по
всей жидкости. Рассматриваемое движение целесообразно поэтому назвать
диффузией вихревого слоя. Из формулы (14.14) видно, что при 2 > 0
значение скорости непрестанно падает от величины va при ? = 0 до нуля при
?—> оо. Простое вычисление по таблице функций Крампа показывает, что
скорость уменьшится
Z^
вдвое через промежуток времени ?=1,1—.
Составим ещё выражение для вихря скорости
dv v°_c~Td щ (14.17)
dz У гЫ
Мы видим, что в каждый данный момент максимальное значение вихря будет
при 2=0, т. е. на месте бывшего разрыва скорости. Далее, простое
исследование функции (14.17) показывает, что в данном месте величина
вихря сначала нарастает, достигает максимума
Итак,
(14.16)
444
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
в момент t — z2/2v и затем падает до нуля; при этом значении максимума
равно, очевидно,
t'o Уд Г1Г
V ™te I г | г пе
В качестве второго примера рассмотрим движение жидкости, расположенной
выше плоскости Оху и находящейся в начальный момент в состоянии покоя,
так что
v(z, 0) = 0 при 2>0, (14.18)
и допустим, что ограничивающая жидкость бесконечная плоскость Оху
внезапно получает в момент t — 0 скорость v0 в направлении оси Ох,
которую затем сохраняет. Решение этой задачи легко получается на
основании предыдущего. В самом деле, функция (14.16) обращается при Z — 0
в 0; поэтому, если образовать функцию
v{z,t) = v о —и0ф(ур=г-), (14.19)
то ясно, что при t — 0 эта функция обратится в нуль, а при z = О в v0, т.
е. удовлетворит всем поставленным требованиям.
При любом z > 0 функция v (z, t) стремится при 1->оо к значению vQ. Это
означает, что в вязкой жидкости, ограниченной с одной стороны твёрдой
стенкой, последняя при своём движении увлекает за собой всю жидкость.
Заметим ещё, что вследствие соотношения Ф (оо )= 1 мы имеем;
1 — Ф(л:) = Ф(со) — Ф (л;) =
02 X СО
= 2 [ в-С’Л-----------2 Г е-?л = 2 г е_,(И 20)
J J V ъ J
r 0 f 0 *
и* следовательно, формулу (14.19) можно заменить такой:
со
v(z,t) = ^±- f е-'2<гс. (14.21)
У К и
~2VW
Полученные выше результаты можно применить к решению ещё одной частной
задачи.
Пусть жидкость занимает полупространство ниже плоскости Оху и находится в
начальный момент в состоянии покоя, так что, считая ось Oz направленной
вертикально вниз, будем иметь;
v(z, 0) = 0 при z > 0. (14.22)
Положим, далее, что на свободную границу жидкости действует,
помимо нормального давления pQ, ещё касательное напряжение Г по*
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
445
стоянной величины и направленное по положительной оси Ох. Определим
возникающее движение жидкости.
К такой постановке задачи сводится, очевидно, в первом приближении вопрос
о возникновении морских течений под действием ветра.
Вспоминая выражение для касательных составляющих напряжения, запишем
граничное условие, которое должно выполняться на свободной поверхности, в
виде
Итак, нам нужно решить уравнение
при начальном условии (14.22) и граничном условии (14.23).
Покажем, как решение поставленной задачи можно сразу вывести из только
что полученных результатов.
Для этого заметим, что функция
тоже удовлетворяет уравнению (14.24) и, кроме того, начальному условию
w(z, 0) = 0 при z > 0.
На свободной же поверхности граничное условие, вследствие (14.23), имеет,
очевидно, вид
Но легко видеть теперь, что если заменить v0 на — Т, то функция v(z, t),
построенная нами во втором из рассмотренных выше примеров, будет
