Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
г\-г\
Точно так же полный момент относительно оси Oz сил трения, приложенных к
части цилиндра С2, отнесённый к единице длины этого цилиндра, равен:
д. 4л,ч (о>2 — “i) ^lr2 /1 -
Ж2 =----------— Г • (l0-6>
г2-г1
Таким образом, чтобы заставить цилиндры вращаться с предписанными
угловыми скоростями, нужно приложить к цилиндру Cj на каждую единицу
длины этого цилиндра вращающий момент — Мj, а к цилиндру С2 — вращающий
момент — М2. По известному правилу вычисления работы необходимо при этом
затрачивать в каждую единицу времени количество работы, равное
4то. (<о, — о),1)2 r\ri R = — AfjMj — M2w2 = -v ^Li. (15.7)
r2~rl
Всё это количество энергии, очевидно, диссипируется. Диссипация энергии
отсутствует, если o)j — ш2, но в этом случае v — tojг, и движение
жидкости состоит в чистом вращении около оси Oz, тождественном с
вращением твёрдого тела. В этом и только в этом случае оба момента yVfj и
М2 тоже обращаются в нуль.
В частном случае, когда г2~со, ш2 = 0, получаем движение жидкости вне
цилиндра, вращающегося с заданной угловой скоростью
г (15.8)
Как известно, в таком движении жидкости вихри отсутствуют. Для вращающего
момента получаем выражение:
М = 4ир.ш1г2, (15.9)
пропорциональное коэффициенту вязкости, угловой скорости вращения
цилиндра и квадрату радиуса цилиндра.
Опыты показывают для рассматриваемого случая удовлетворительное согласие
величин, получаемых экспериментально, с величинами, вычисленными на
основании вышеприведённых формул. Конечно, это имеет место только в
случае ламинарных течений, т. е. пока Угловые скорости вращения цилиндров
остаются достаточно малыми 11 не переходят критических значений, после
чего наступает турбулентный режим.
29 Теоретическая гидромеханика, ч. II
450
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. I!
§ 16. Диффузия вихря. В качестве важнейшего примера нестационарного
плоского движения вязкой жидкости рассмотрим вопрос о диффузии
прямолинейной вихревой нити.
Пусть в начальный момент времени имеется распределение скоростей,
соответствующее прямолинейной вихревой нити, расположенной по оси Oz и
имеющей интенсивность Г.
Таким образом, в момент времени t =0 проекции скорости на оси
цилиндрических координат г, 0, 2 имеют следующие значения:
vr — 0> v^ = ~, (16л)
Требуется определить движение жидкости в любой следующий момент времени.
Совершенно ясно, что в этом движении vr и vz всё время равны нулю, а
зависит только от г и t:
vr = vz= 0, vn = v (г, t), р = р (г, t).
Уравнения (5.14) показывают нам, что
dv ___ / d2v . 1 dv v \
dt ~~ \ dr2 ' r dr r2 /
Введём ещё в рассмотрение вихрь скорости
2 = -I d(-rv)
г dr
В § 8 мы вывели уравнение (8.6), определяющее изменение вихря с течением
времени. В цилиндрических координатах это уравнение имеет вид:
. dQ . t/9 dQ .п fd2Q , 1 dQ . 1 d2Q\
В нашем случае, когда vr = § и Q не зависит от 0, это уравнение сильно
упрощается:
(16 4)
dt \дг2^ г dr I г dr 1 ;
Впрочем ясно, что (16.4) вытекает из (16.2) вследствие (16.3).
При рассматриваемых начальных условиях мы без всякого труда
проинтегрируем уравнение (16.2) или (16.4), если воспользуемся
соображениями теории размерностей. Рассмотрим, например, уравнение
(16.4). Функция 2, кроме переменных г и /, может зависеть только от двух
параметров v и Г, причём ясно, что 2 прямо пропорционально Г; итак,
2 = ГФ {г, t, v). (16.5)
Выписываем теперь размерности всех входящих в эту формулу величин:
(16.2)
(16.3)
§ ,6] ДИФФУЗИЯ ВИХРЯ 451
Если мы произведём изменение единиц длины и времени, уменьшив единицу
длины в L раз, а единицу времени в 7 раз, то численное значение г
увеличится в L раз, численное значение t — в 7 раз, численное значение 2
— в 1/7 раз и т. д. Поэтому в новых единицах мы будем иметь
у=уГф(гД tT,
Заменяя здесь 2 его выражением (16.5), получаем следующее тождество:
Ф(г, t, v) = L2<&(rL, tT, v-2'
Положим теперь 7— — , L — -, тогда будем иметь: t у it
т. е.
Итак,
Полагая
вычисляем:
2=4/(4)-
dQ г? f (?) - ^-4* f' © = - ёт [/(0 + \Г ©1.
dt -it2 J w it it2 1 ~ it2
dQ _ 1 /t\ 2r* 2r
dr it it it
2_
r dr
Составляя теперь уравнение (16.4), легко находим уравнение для функции
/(?):
/ (0 + \Г (0 + 4 [/' (?) + ?/" (?)] = 0.
Его можно переписать также в форме
/ Ю 4- 4/' (?) ?+ ? ~ If (?) + 4/' (?)] = 0, откуда видно, что
и/Ю + 4/' (?)] = С.
Но если считать, что / (?) и f if) при S = 0 остаются конечными, то
следует принять С — 0, как это видно из предыдущего равенства,
452
движение вязкой жидкости
[ГЛ. II
если в нём положить ?.-=0. Итак,
/00 + 4/'(5) = 0.
Интегрируя это уравнение, получим:
С
/«) = лГ*.
где Л — постоянная, подлежащая определению. Итак,
ЛГ ——
Q = -4-e
•it
Вычислим циркуляцию по окружности радиуса R, с центром в начале
координат. По формуле Стокса мы имеем:
R R
Г* = / f QdS= f 2 • 2itrdr = ^~ f e~™rdr =
4тсЛГе ы
r = R /
f=0 = 4пЛГ \1 — e ы) .
(16.6)
Если устремить t к 0, то е м тоже будет стремиться к нулю, поэтому
Игл Гл — 4тсЛГ.
<->о
Но, по условию, в начальный момент времени ГЛ = Г, следовательно, должно
