Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 106

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 183 >> Следующая

VI
мы знаем, число Рейнольдса R — —, где V — характерная скорость, а I —
характерная длина. Формула (17.9) показывает, что в нашем случае величина
Q имеет как раз размерность, равную произведению размерности скорости на
размерность длины. Поэтому, обозначая через | Q | абсолютное значение
величины Q, удобно будет определить число Рейнольдса формулой
(17.10)
464
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Вместо величины и(0) мы введём в рассмотрение безразмерную величину U
(9), полагая
и(0) = |Q| f/ (0). (17.11)
Ясно теперь, что уравнение (17.4) перейдёт в
U"+4U + RU2 — D = 0, (17.12)
а формула (17.5) превратится в
0]/~f = ± f - *У= (17.13)
. у ^U*-^U* + Dtu + D2
где D, Dv D2— новые произвольные постоянные.
Наконец, формулы (17.8) и (17.9) перейдут в
а
1
г/(±!) = 0; f U(6)d6= ±1; (17.14)
а
~2
причём в последней формуле имеет место знак плюс для источника и знак
минус для стока.
Разложим теперь полином, стоящий под знаком корня в формуле (17.13), на
простые множители:
иг _|_ U2 - DXU - D2 = (U - ег) (U - ej (U - e2).
Сравнение коэффициентов при U2 в двух частях этого равенства показывает,
что
е\ "Ь е2 ~Ь ез — — ^ • (17.15)
Формула (17.13) принимает теперь вид:.
0 г/'Щ = ± [ Т-,=, =:*U=: -???? , :? (17.16)
У 3 J Y{e,-U)(U-ei){U-ei)
Полином третьей степени с вещественными коэффициентами, стоящий в правой
части равенства, имеет три корня, один из которых всегда вещественный,
два же других корня могут оказаться или вещественными, или же комплексно
сопряжёнными.
Разберём сначала случай, когда имеется один вещественный корень ех и два
комплексно сопряжённых е2 и ег. Тогда для всех вещественных U имеет место
неравенство
(U — е2) (U — ег) > 0
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ
465
и, следовательно, для вещественности корня, входящего в интеграл
(17.16), необходимо считать
ех — U >0,
так что U ограничено сверху числом ех. Но мы знаем, что на стенках U
обращается в нуль, следовательно, U меняется в пределах от о до ех.
0 <?/<>!,
причём ех должно быть положительным. Ясно, что мы имеем дело с
источником.
Пусть теперь все три корня вещественны. Расположим их в порядке убывания
е\ ^ е2 ез-
Ясно вследствие равенства (17.15), что е3 отрицательно и что
Очевидно теперь, что
(ех — U) (U—e2) (U — е3) > 0, если — со < U < е3 или е2 < U < ех, (ех —
U) (U—e2) (U — е3) < 0, если е3 < U < е2 или ех < U < оо.
Так как выражение, входящее под знаком корня в формулу (17.16), не может
быть отрицательно, то ясно, что U должно изменяться либо в пределах от —
со до е3, либо в пределах от е2 до ех. Но первый случай должен быть
исключён, так как U должно принимать на стенках значение 0. Итак, мы во
всяком случае должны иметь:
е2 < U < ех.
Различим теперь случаи источника и стока. При этом как в том, так и в
другом случаях мы ограничимся рассмотрением только наиболее интересного
случая, когда во всём диффузоре имеет место течение одного направления,
т. е. вытекание в случае источника, втекание в случае стока. Ясно тогда,
что в случае источника U положительно, причём на стенках обращается в
нуль. Это может быть только, если ех >0, е2 ^ 0, причём U лежит в
промежутке
0 <?/<*!.
Напротив, в случае стока U отрицательно, поэтому должно быть е2 < 0,
ех~^- 0 и
е2 < и < 0-
Резюмируя сказанное, получаем: в случае стока все корни вещественны,
причём
е2<?/< 0, ^>0, е3< — щ-, (17.17)
30 Теоретическая гидромеханика, ч. II
466
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
в случае же источника есть один вещественный положительный корень е1 и
два корня е2 и ег либо отрицательных, либо комплексно сопряжённых, причём
0<i/<ev (17.18)
Рассмотрим теперь подробнее случай источника. Из симметрии ясно, что
максимальное значение функции U, равное ev достигается на оси диффузора,
т. е. при 6 = 0. При увеличении 9 значение U уменьшается, следовательно,
в формуле (17.16) нужно взять знак минус и за нижний предел нужно взять
ev Итак, в случае источника:
и
6л/~= — f г, -..- :г- _ (17.19)
УЗ ./ У{е,-и)(и-е,)(и-еъ) \ ^ ^ 2)
Значению U — 0 соответствует 6=у. Это даёт нам равенство:
a I/'S = / =JiU, ... ? (17.20)
Так как:
2R dU _
3 ~ V(el-U){,U~ei) (U-ъ)
последнее равенство (17.14), эквивалентное в случае источника равенству
?,
/
(7(6) dB = ~,
даёт нам условие
__ е,
U dU
/!=/
(17.21)
Три равенства (17.15), (17.20) и (17.21) служат для определения трёх
величин ev е2 и ег при заданных R и а. Однако эта система не всегда имеет
решение; мы это покажем при помощи простых оценок.
Мы имеем вследствие (17.15):
(U - е2) (U-e3) = т-{е2 + еъ) U + е3е3 = (У2 + (ех + -|) U + e2e3,
§ 1Л
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ 467
и так как для случая источника е2е3 > 0 (ибо е2 и е3 либо комплексно
сопряжённые, либо е3 е2 0), то
(JJ — е2) (U — е3) ^ (et -f- ^ U.
Поэтому из равенства (17.20) находим:
‘V 7</
dU
и так как
е, 1
dx
= 1Г,
г dU = Г-_______________________
J Уи{е,-и) J Ух {1-х) то получаем оценку
или a < ?? 71 . (17.22)
* 6 А к A. Re,
Мы видим, таким образом, что угол а во всяком случае должен быть меньше
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed