Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
dx2 Ct dx, Ci C7 Ж =
Допустим далее, что для соответствующих точек мы имеем соотношения:
Х2 (дг2, у2, z2, t2) Y2 Z2 p Xx(,xx,yuzx,tx) ~ K, — Z, “
(9.4)
?2 — ^pPl> v2 =
где CF, С , Cv — тоже постоянные величины.
Составляя уравнение (9.1) для второго течения, мы на основании только что
выписанных равенств (9.2), (9,3), (9.4) легко перепишем
408
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
его в виде:
су ~дГ + с7 + v'y -djf + У1г
CV dvu , c~v dvu , „ dvu dvu
+ (9.5)
J
CpC^j dzx Cf
Но если первое течение действительно имеет место, то должно
удовлетворяться равенство
dvlz , dviz dvl2 , dvu __ 7 1 dp, ,
+ + ITT + 'lA^‘
Отсюда мы заключаем, что если
(9.6)
И
с, с, - с,
CvC?Ct
р2 = —^ pv (9.8)
то уравнение (9.5) и ему аналогичные будут удовлетворены и,
следовательно, второе течение, по условию подобное первому, тоже может
иметь место в действительности.
Равенства (9.7) позволяют выразить все постоянные С через две из них, за
которые мы примем Cv и Сг. А именно, мы имеем:
СС СКС, С 2
~T^=l- 7^=1’ Р2 — CfivP\.
Подставляя сюда значения постоянных С из равенств (9.2), (9.3) и (9.4),
мы легко придём к следующим соотношениям:
^2^2 _____________________________ V2 У) Р2__ Pi
h h v\ V1 ’ v2l2 vih ' ?2vl ?lvl
(9.9)
Следовательно, достаточными условиями механического подобия является
выполнение соотношений (9.9) для любых двух соответствующих точек
рассматриваемых течений. Первое из этих соотношений является, собственно
говоря, условием кинематического подобия, последнее же из соотношений
(9.9) определяет р2 и, следовательно, всегда может быть выполнено. Таким
образом, по существу говоря, мы получаем в рассматриваемом случае два
условия механического подобия:
ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
409
Обозначим через I характерный для данного движения размер, например, в
случае задачи об обтекании сферы это будет радиус сферы; точно так же
обозначим через V характерную для данного движения скорость, например
скорость на бесконечности в случае задачи об обтекании сферы. Положим,
наконец, что внешний массовой силой является сила тяжести, так что Z — —
g.
Введём в рассмотрение два числа:
(9.12)
называемое числом Рейнольдса, и
F = -?. (9-13)
называемое числом Фруда.
Мы видим, таким образом, что для вязкой несжимаемой жидкости, находящейся
под действием силы тяжести, два течения, обладающие одинаковыми числами
Рейнольдса и Фруда, являются подобными. Конечно здесь, как и в дальнейшей
части этого параграфа, всегда предполагается, что речь идёт о течениях
около или внутри геометрически подобных тел. Примером, где закон подобия
должен был бы применяться в только что полученной форме, является
испытание моделей кораблей. В самом деле, сопротивление корабля слагается
как из сопротивления трения, так и из волнового сопротивления, обязанного
своим происхождением волнам, образующимся на свободной поверхности
жидкости под действием силы тяжести. Однако на практике мы встречаемся со
следующим затруднением: пусть величина модели в 100 раз меньше величины
судна в натуре; по уравнению (9.13), для того чтобы число Фруда F
осталось неизменным, нужно взять скорость V в 10 раз меньше скорости
судна в натуре. Чтобы число Рейнольдса R тоже осталось неизменным,
коэффициент вязкости v нужно взять в 1000 раз меньше коэффициента
вязкости воды; практически этого осуществить нельзя. Поэтому при
испытаниях применяют тоже воду и сопротивление трения определяют по
особым опытным формулам. Остаточное же сопротивление — волновое —
пересчитывается по закону подобия для идеальной несжимаемой жидкости,
находящейся под действием силы тяжести; по этому закону
два течения с одинаковыми числами Фруда будут подобными Сзакон подобия
Фруда).
Таким образом, при испытаниях моделей судов линейные размеры модели
должны быть пропорциональны квадрату скорости движения модели.
Если жидкость находится под действием силы тяжести, но свободных
поверхностей в рассматриваемом течении нет, то закон
410
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
подобия сильно упрощается. В самом деле, в этом случае в уравнения
движения можно ввести вместо давления р новую величину
если считать ось Oz направленной вертикально вверх. Тогда уравнения
движения принимают вид:
т. е. сила тяжести является исключённой. В случае наличия свободной
поверхности этот искусственный приём не дал бы результата, так как на
свободной поверхности имеется граничное условие, в которое входит
величина р, а не q.
Но раз внешняя сила оказалась исключённой, то условия (9.10) уже более не
получается, и мы приходим к следующему закону подобия, открытому Осборном
Рейнольдсом:
для вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил или при
действии силы тяжести, но при отсутствии свободных поверхностей, два
течения, обладающие одинаковыми числами Рейнольдса, являются подобными.
Отсюда вытекает, что при рассмотрении течений вязкой жидкости число
Рейнольдса должно играть колоссальную роль. Так, например, мы указывали в
