Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 94

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 183 >> Следующая

зависимостью:
На рис. 153 графически изображено полученное распределение скорости по
закону параболы.
Вычислим количество жидкости Q, протекающее в единицу времени в призме,
ограниченной стенками и двумя плоскостями у=О и у — b. Так как
’) В противном случае функция и, будучи ограниченной при указанных
граничных условиях, достигала бы максимума или минимума.
|s‘!+" + s=°; wKl>2-Ah+B=t>-
откуда
А = 0, В
2р. дх
J-/г2
и, следовательно:
тогда ясно, что функция и (у, z) должна удовлетворять уравнению Лапласа
и двум граничным условиям
и — 0 или д=±А. (11.5)
Но если потребовать, чтобы V, а, следовательно, и и оставались
Рис. 153.
(11.6)
h h
I ,1] ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ 423
(Ц.7)
^ Зр. дх v '
Деля это выражение на поперечное сечение 2hb вышеупомянутой призмы,
получаем для средней скорости жидкости v выражение:
~ др '11 о \
v ~ 3JT дх ' ^8)
Если взять на оси Ох две точки М0 и М1 на расстоянии I друг от друга и
обозначить давления в этих точках соответственно через Ро 11 Pi’ то’
замечая, что
получим из (11.7) для падения давления формулу:
Po — Pi За О
I :2bh3 •
(11.9)
Таким образом, в рассматриваемом случае падение давления на единицу длины
прямо пропорционально коэффициенту вязкости и протекающему количеству
жидкости и обратно пропорционально кубу расстояния между стенками.
Рассмотрим теперь другой частный подслучай. А именно, допустим,
что жидкость ограничена двумя параллельными стенками, одна
из которых с=0 остаётся всё время неподвижной, в то время как другая z~h
перемещается в своей собственной плоскости параллельно оси Ох со
скоростью U. При тех же допущениях, что и выше, мы найдём, что
— const.
ох
Для простоты примем, что
?ЯГ = °- 41.10)
Тогда те же рассуждения, что и выше, покажут нам, что v должно
определяться дифференциальным уравнением
0 = 0. (11.11)
зо только теперь граничные условия будут
v == 0 при г = 0, )
.. . (11.12)
v = U » z~h,\
ибо частицы жидкости, прилегающие к нижней стенке, должны оставаться
неподвижными вместе со стенкой, частицы же, прилегающие
424
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
к зерхней стенке, должны перемещаться с той же скоростью, что и эта
стенка.
Интегрирование уравнения (11.11) даёт:
v = /1? Д- В,
где Л и В — произвольные постоянные, определяющиеся из уравнений (11.12):
5 = 0, А=Ц~.
h
Итак, в рассматриваемом случае течение определяется формулой
v^=~. (11.13)
Как раз с рассмотрения этого течения мы начали нашу главу и уже
представили графически полученный лип йный закон распределения скорости
на рис. 151. Простые вычисления дают для протекающего количества жидкости
и для средней скорости выражения
В fib — U , ,ч
Q = —о—, v=d>'~2- (11-14)
Вычислим ещё силу трения, действующую на каждую единицу площади стенки.
Мы имеем формулу
dv
T« = !*-rfF’
и, следовательно, для искомой силы трения получаем выражение
^=4-- <11Л5)
Наконец, чтобы показать пример того, как надо учитывать граничные условия
на свободной поверхности, разберём ещё один частный подслучай. Пусть на
жидкость действует сила тяжести, и пусть жидкость ограничена сверху
свободной поверхностью, снизу же неподвижной плоскостью Оху, наклонённой
к горизонту под углом а, причём ось Оу горизонтальна, а ось Oz направлена
перпендикулярно к плоскости вверх, так что
.?=,§• sin a, Y — 0, Z= ?-g'cosa. (11.16)
Будем опять считать движение происходящим параллельно оси Ох
и стационарным. Рассмотрение основных уравнений гидромеханики
снова приводит к выводу, что
др
- - = const.
ОХ
Примем для простоты, что
-^ = 0. (11.17)
ох
5 U] ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ 425
уравнения (5.1) приведутся тогда к виду:
/ d2v , o'lv \
P^sm, + + -г =0;
Я (11.18)
<?/' _ ор , „ j v '
так что
. — 0; -г— -j- ,g cos i — 0,
с)>’ дх 1 ^
р ==С — ogz cos а,
Где С - некоторая постоянная величина.
Граничные условия, согласно § 6, имеют следующий вид. На неподвижной
плоскости
V — 0 при z = 0; на свободной же поверхности z h должны выполняться
условия: Р«=-А>- Ргх^Ргу^0-
Но так как v = vz = 0 и = v есть функция только от у и z, то
I о dv, I dv, . dv.. \ dv
P^=-P-+2ll--JF=-~P’ P™ = b~x + sr) = !A dF’
n — a ( ^l’! ' ~ 'y__'_0
Рг>'—'Лду -T ,v '
следовательно, мы приходим к следующим граничным условиям:
Р^Р»' ~<РГ~0 при Z2=h- (11.19)
Первое из этих условий определяет постоянную С:
С — Ро ~Ь pg'^cosa,
так что
P = Po + ?g(ft — 2) cos а. (11.20)
Отыскиваем теперь частное решение уравнения (11.18), зависящее только от
z, так что
I d2v _
pg- sin a -f p. = 0.
Общее решение этого уравнения есть
Р?? Sin ^ о | » < о
v = — — z -f- Лг -f- j5;
постоянные Л и В определяются из граничных условий
v = 0 при z = 0,
426
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. II
которые дают Итак,
= 0 Л — 9gh sin а ц
рgz (2h — z) sin a
Легко теперь убедиться, что это и есть то решение рассматриваемой задачи,
которое нам нужно. В самом деле, если положить
Рgz (2h — z) sin a
2\l
+ И (у, z),
то для функции и (у, z) получится уравнение Лапласа
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed