Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
самом начале этой главы, что кроме правильных, так называемых ламинарных
течений жидкости, существуют течения беспорядочные, так называемые
турбулентные. Когда мы рассматриваем различные течения жидкости около или
внутри геометрически подобных тел, то оказывается, что при малых числах
Рейнольдса эти течения ламинарны, при больших же числах Рейнольдса они
становятся турбулентными. Таким образом, число Рейнольдса определяет даже
самый характер течения.
Подойдём теперь к вопросу о подобии с несколько другой точки зрения.
Рассматривая какое-либо течение жидкости, введём, как выше было указано,
характерную для данного течения скорость V и характерную длину /. Так как
можно принять, что характерная скорость V равна отношению характерной
длины I к характерному для данного течения промежутку времени Т, то
характерным промежутком времени будет Т = //V. Наконец, характерным
ускорением будет VjT или V2fl.
Введём в рассмотрение безразмерные величины, а именно, положим:
Ч = РЛ-?ё*>
(9.14)
(9.15)
я: = /?; у = 1т}\ z — /С; ]
v~Vu\ р = Рр. }
(9.16)
ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
411
Преобразуем теперь уравнения движения, например, уравнение (9.1), к
введённым безразмерным величинам, причём для определённости будем
считать, что массовая сила есть сила тяжести. Так, на-пример, мы имеем*
дщ _ У2_ d}h_ dt I dz ’
A — д2у* -I- d!yz -1- дЙУг — F ld4z I I \ _ V .
dx2 _t~ dy2 ~T dz2 /2 \ d$2 _r dif dZ2 )~ I2 ^ 2-
Простые вычисления показывают тогда, что уравнение (9.1) после указанного
преобразования и умножения на 1/V2 принимает следующий вид:
duz ди* — lZ Р dP | v Л
"57 •* ds '‘ У dij ^ г dZ ~~ V2 pV'2 at TiF А'
Мы положим:
Я = pH2,
и введём, как выше, числа Рейнольдса и Фруда:
R = —, F = -?;
V lg
тогда уравнение принимает вид:
дцг I „ I diiz , dnz _________ 1 dp . 1 , .q -
~d7 + “*~dr + wy dij ~T~ dT+R- (9Л7)
Из этого уравнения ясно видно, что характер течения зависит от значений
чисел F и R. Обратно, если для двух течений около геометрически подобных
тел числа Рейнольдса и Фруда одинаковы, то уравнения движения в
безразмерных величинах для обоих течений будут одинаковы, так же как и
граничные условия и, следовательно, их, иу, uz будут для обоих течений
одинаковыми функциями от ?, tj, С, т. Но тогда из уравнений (9.16) ясно
видно, что
хг __ У г г2 ^2 ^2 ^2^1 ^2 „.
а, у, г, — Л ’ tx~ l,V2’ Н, 11
а это и означает, что два рассматриваемых течения подобны между собою.
Итак, при совпадении для двух движений чисел Рейнольдса и Фруда эти
движения подобны между собою.
Наконец, третий способ вывода условий подобия основан на соображениях
теории размерностей!). Возьмём определённое течение жидкости,
характеризуемое в некоторой системе единиц величинами
') В книге Бриджмэн П. В., Анализ размерностей, ГТТИ, 1934, содержится
подробное изложение теории размерностей, см. также:
Р еД°в Л. И., Методы теории размерностей и теории подобия в механике,
412
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
л:, у, z, t, vx, vr vz, p, p, v, g. Пусть мы имеем дело с физической
системой единиц, так что основными единицами являются: единица длины,
единица времени и единица массы. Изменим теперь эти единицы, положив
старую единицу равной L новым единицам длины, старую единицу времени — Т
новым единицам времени и старую единицу массы — М новым единицам массы.
Принимая во внимание размерности всех вышеперечисленных величин, а именно
[X] = [у] = [г] = L, [t] = Т, {vj = [Vy] = [vz] = ±,
[?]=Ж_3. [р]= МГХТ~2, \->}=L2T-\ \g\ = L Т~2,
и обозначая численные значения всех вышеприведенных величин в новой
системе единиц теми же буквами с чертой наверху, будем иметь:
X — Lx, У — Ly, Z = Lz, t = rt,
_ L _ L L
Tvx, vy т Vy’ Т
_ М _ М _ L2 L
Р = XT Р. Р LT2 Р’ V = Т V’ § У 2 S'
Обратим внимание на то, что в новой системе численные значения всех
рассматриваемых величин изменились, но так как нами рассматривается одно
и то же движение жидкости, то уравнения движения всё равно будут
удовлетворяться.
Итак, величины vx, vy, vz, р, р удовлетворяют уравнениям движения, в
которых вместо g стоит g и вместо v стоит v. Но тогда никто не может нам
помешать вернуться к старым единицам и рассматривать такое новое движение
новой жидкости (коэффициент вязкости которой в старых единицах равен
v) и находящейся под
действием силы тяжести, ускорение которой равно g, в котором численные
значения составляющих скорости, плотности и давления, измеренные в старых
единицах, равны как раз vx, v , vz, р, p.
Из первых двух строк равенств (9.18) сразу видно, что старое и новое
движения будут подобны между собою. Последние два
равенства (9.18), определяющие значения, которые должны иметь для нового
движения величины v и g, дают нам искомые условия механического подобия.
Обозначая опять через I и V и соответственно через I п V характерные
длину и скорость, мы будем иметь:
l — L A — Z. А — Ж L. — YLI
~ I ’ Т ~~ V ’ т~ IV' т2 ~ IV*'
ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
413
и поэтому два последних условия (9.18) принимают вид:
