Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
для случая идеальной жидкости. И в том и в другом случае должно быть
задано в начальный момент ? = 0 распределение скорости во всей
рассматриваемой области, т. е. должны быть заданы три следующие функции:
vx(.x, у, z, 0) = /1(х, у, z), vy(x, у, г, 0) = /2(х, у, z), j ^ vz{x, у,
г, 0) = /3(х, у, Z). I
') См. Мониа А. С., О лагранжевых уравнениях гидродинамики несжимаемой
жидкости, ПММ, 1962.
398
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ, п
Впрочем, в очень многих задачах приходится рассматривать движение или
стационарное, или сводящееся к стационарному, и тогда вопроса о начальных
условиях вовсе не возникает.
Напротив, граничные условия в случае вязкой жидкости будут иными, чем в
случае идеальной жидкости. Это обстоятельство имеет громадное
принципиальное значение. Нужно особенно подчеркнуть, что с математической
точки зрения исследование движений вязкой жидкости отличается не только
усложнённостью уравнений движения по сравнению со случаем идеальной
жидкости, но и своеобразием пограничных условий.
Переходим теперь к формулировке пограничных условий в случае вязкой
жидкости. Мы рассмотрим три случая, которые в дальнейшем нам понадобятся:
1) жидкость примыкает к неподвижной
стенке, 2) жидкость примыкает к подвижной стенке и 3) жидкость ограничена
свободной поверхностью.
Мы будем считать, что в точках, где вязкая жидкость примыкает к твёрдой
неподвижной стенке, скорость жидкости обращается в нуль. Иными словами, в
точках соприкосновения вязкой жидкости с твёрдой неподвижной стенкой не
только нормальная составляющая скорости обращается в нуль, как это имеет
место и для случая идеальной жидкости, но и касательная составляющая
скорости тоже равна нулю. Таким образом, вязкая жидкость прилипает к
твёрдым стенкам. В настоящее время считается, что это допущение
достаточно хорошо подтверждается опытом.
В точках, в которых вязкая жидкость примыкает к подвижной стенке, мы
потребуем выполнения следующего условия: в этих точках скорость жидкости
должна по величине и направлению совпадать со скоростью соответствующей
точки стенки.
Рассмотрим теперь случай свободной поверхности жидкости, граничащей с
пустотой, где давление pQ принимается равным нулю, или с воздухом, где
давление принимается имеющим постоянное значение р0. На такой поверхности
должно выполняться, во-первых, кинематическое условие: нормальная к
свободной поверхности составляющая скорости должна совпадать со скоростью
перемещения поверхности разрыва, и во-вторых, динамическое условие:
вектор напряжения рп для площадок, касательных к свободной поверхности,
должен быть направлен по нормали к этим площадкам внутрь и по численной
величине должен быть равен р0, так что мы должны иметь Рпп — — Ро< Pns~
0, если s есть любое направление, касательное к поверхности в
рассматриваемой точке.
Приведём теперь несколько соображений, показывающих, какое большое
значение имеет правильный учёт граничных условий. Рассмотрим уравнения
вязкой несжимаемой жидкости (5.4). Эти уравнения отличаются от уравнений
идеальной жидкости только членом
НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
399
vrotQ. Если вектор Q = rot® есть потенциальный вектор, т. е. если
rot v — grad х,
то rotQ = 0, и уравнения вязкой жидкости совпадут с уравнениями идеальной
жидкости. В частности, это имеет место для безвихревого
движения, когда rot v = 0, т. е. когда
© = grad ср, (6.2)
причём, вследствие уравнения неразрывности, ср есть гармоническая
функция, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа
Дср = 0. (6.3)
Итак, мы имеем довольно общее решение уравнений движения несжимаемой
жидкости, как вязкой, так и идеальной. Однако это решение, в случае
идеальной жидкости позволяющее рассмотреть целый ряд задач, в случае
вязкой жидкости оказывается почти совершенно бесполезным. Допустим,
например, что мы рассматриваем задачу о прямолинейном и равномерном
движении твёрдого тела в жидкости со скоростью О параллельно оси х. Тогда
в случае идеальной жидкости мы имеем всего лишь одно граничное условие,
которое должно выполняться во всех точках поверхности S, ограничивающей
тело, а именно
v„ — Ucos(n, х) или ^—Ucos(n, х), (6.4)
где п есть направление нормали к поверхности 5. Как известно, условие
(6.4) определяет гармоническую вне поверхности 5 функцию ср единственным
образом, если отвлечься от постоянного слагаемого, которое, по (6.2), не
играет никакой роли при определении ©.
В случае вязкой жидкости мы имеем, вместо (6.4), во всех точках
поверхности 5 три граничных условия:
ж = 0' $ = “• <«'5>
и легко видеть, что не существует решения уравнения (6.3),
удовлетворяющего всем условиям (6.5).
Этот пример показывает нам, что трудность решения задач гидромеханики
вязкой жидкости кроется не только в усложнённом виде уравнений движения,
но и в большем, по сравнению со случаем идеальной жидкости, количестве
пограничных условий.
Мы видим далее, что безвихревые движения не дают решений задач
гидромеханики вязкой жидкости не потому, что они не удовлетворяют
