Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
криволинейных координат составляющие тензора скоростей Деформаций
1 « 1
394
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
теми же буквами, что и в случае прямолинейных координат, легко найдём
искомые выражения, например:
Sv
тг,
3 д
vk дН
k = 1
Я2
Нк дЯк
m
l+
№
i dt»,
vt дНх . v3 дЯ,
dqt Я, dqt '(*)
Я3 dq з
1 dt-2 |
^ tf2
1 dv3
dq 2 v2
0Я,
Я(Я2 я,я3 d^3
ЙЯ,
я2 d?2 Я2Яз 0?з
Я2я3 0^2
(5.12)
Выражения для е2, е3, б2 ческой перестановкой.
Так как тензор напряжений
з получаются из предыдущих цикли-
Рп Р12 Р13 '
п = Р%\ Р22 Л23
Рп Л32 Л зз
связан с тензором скоростей деформаций для случая несжимаемой жидкости
соотношением
П = —р/+2р.Ф,
то для составляющих тензора напряжений получим формулы следующего типа:
г-2 <5Я, . t-з <?Я,
Рп = -/4-21*! = -Р+^{н^ Pl2 = ii63 = lA{
Я1Я2 dq2 ' Я,Я3 dq3 1 dz-! , 1 dv 2 г-) <ЗЯ] г>2 <?Я.
Я2 Я, d^i Я]Я2 d?2 Я]Я2 dq
rb
(5.13)
Напишем теперь уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в
цилиндрических и сферических координатах.
Рассмотрим сначала цилиндрические координаты г, 9, z, связанные с
декартовыми координатами формулами:
х = г cos 9, г = У х2 -J- у2,
у = г sin 1 z = z.
arc ^7-
г = z.
В этой системе координат коэффициенты Ламэ имеют следующие значения:
Hr= 1, #6 = г, Hz—\.
Обозначим через Fr, F§, Fz проекции массовой силы F на оси цилиндрических
координат. Тогда, производя вычисление всех чле-
§ »]
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
395
нов уравнений (5.2) по формулам (5.9), (5.5), (5.8) и (5.6), найдём
окончательно уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в
цилиндрических координатах:
dvr
dt
dvr v6 dvr dvz
Vr dr r dd 2 dz d2vr
ve
1 d2vr
dr2
r2 dO2
d2vr -
dz2
. 1 dvr 2 dve
' ~r~dr r2 dd
*)?
dt
dv
dv.
~dir + Vr-Ar +
r dr
pr d9
^8 dvz r dd
dvp
dz
d2vs
V dr2
vrvo
, 1 d2Vl> r2 dd2
d2Vi>
I 1 dv 9 "’!”/• dr
dz2 2 div
+
d0
r2)’
(5.14)
dvz
dz
p dz dvr , 1 dug
dr
dd
dr2 du
"di
1 d2Uz Г2" ~~dW
d2u.
dz2
dv2
dr
)?
*- . r_
Г
? 0.
Формулы (5.13) позволяют составить составляющие тензора напряжений в
цилиндрических координатах
1 dvr . du9
I о dvr
Prr = — P + 2V--gf
Prb = V-
dd
dr
)•
i n dv,
P + 2].-^-,
(5.15)
Сферические координаты г, 0, X связаны с декартовыми координатами
следующими соотношениями:
x = rsin0cosX, г = Y х2 + У2 + z2-
у — г sin 0 sin X, 0 = arc i
V*2 + :
z = r cos t
: arc tg -
Коэффициенты Ламэ имеют следующие значения:
396
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. и
Поэтому уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в сферических
координатах имеют следующий вид:
dv.
dv.
Щ dvT
dt
= F,
(30
r dr '
P dr ^ I dr2 ^ ctg 0 dvr 2 dv
ao
*4 dv r
r sin 0 dl 1 d2vr .
vV
1 d2rr
2 dv.
dd2
2
dvc
r2
dvn
(30
dr
- +
Vi
ctg
r‘
dv,
<30 1 r sin 0
d2vH 1
r2 sin 0 dv,
r2 sin2 0 (33i2 dip. 2vr
dl r2
' r dr
2 ctg 0
?•Уо)-
Jrv§
v\ ctg 0
dl
1
r
d2vt}
2 dv*
dr2 ' г2 do2
dt/j 2 cos 0 dv)k
r2 sin2 0 2 dvr
dl2
+
A
' r dr
dt/x . dvi
dt
r2 (30 i/e do.
r2 sin2 0 dl
(30
(30
/• sin 0
F
1
pr sin 0 dl 2 dvx . ctg 0 dvx
dt/). . i/,i/,. .
‘й + с +
1 d2vx
r2 sin2 6 AA ctg 0 _
1
r
d2v
dvr
r dr
dvr , 1 dvn
dr ' r (30
(30
1
+
(302 ' r2 sin2 6 dl2
2 cos 0 (3i/0 1/)
M-
r2 sin2 0
)•
di’i
r sin 0 dl
2vr i»0 ctg 0 r r
0,
)•
(5.16)
причем для составляющих тензора напряжений получаются формулы:
/V/ — F I r дй -t dr
1 о dvr
.i).
I = — P -f- 2p. (7
,(-i
\r Sll
• sin 0 dl
Ax
Pn=~P + 2jx
(30 ' r
, 1 dvx
r d6 di/>.
Px
' dvx
r ^ ( dr r sin 6 dl r
sin 0 dl 1 dvr
v\ ctg 6 \
Г )’ vr I 1/0 ctg 0 j
V\
(5.17)
В этом параграфе мы рассматривали переменные Эйлера. Для некоторых задач
представляет интерес использование переменных Лагранжа.
Чтобы записать уравнение (5.1) в переменных Лагранжа, представим сперва в
этих переменных величины Д1»r, Avy, Avz.
Заметим сперва, что для любой функции f(x, у, г, t) мы можем написать
К
dx
D U, У, г)
D (х, у, г) ’
JL
dy
D (х, /, г) D (х, у, г)
К
dz
D (х, у, /) D (х, у, z)
6] НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 397
или, если ввести переменные Лагранжа а, ft, с,
df _ Р (/, у, z) D (а, ft, с) df _ Р (х, /, г) Р (д, ft, с)
~дх — Р (a, ft, с) D (х, у, г)' ду ~~ D (а, ft, с) Р (х, у, г)
’
df _ D (х, у, /) Р (д, ft, с) дг ~~ D (a, ft, с) Р (х, у, г)'
Р (а> С) , ГГ
В несжимаемой жидкости ^ = 1. Для сокращения письма введем
и \х, у, а1)
обозначение
0г}р-, ’ Су = [Л, В, С],
Р (a, ft, с) l’ J
Тогда
|U[/.y,*], -§? = [*,/,*], § = [х,у,Л,
V~l?+$+& = j;M**l+Wlx'f'z] +
+ -Jj [*> у. /1 = [ [/. У- гЪ У> г1 + Iх’ Iх’ /• г], г] + [х, у [х, у, /]
]. Поэтому взамен уравнения (5.1) мы получим в переменных Лагранжа ^=*-
j[py,*] + v{[p^,y, 4 у, *] +
+ЬЬ4г’ 4 *]+[*. у.[*у< 4rj]}’
^ = т — - Iх, Р, г] + V | [ , У, г] , У. -zj +
+ [х, [х,^-,г],а| + [х, у [х, у, f-] ] },
dt2
Р
7 1
й* ~z~7
= z - — [х, у, р] + V| [ [-^ , у, 4 у, г] +
+[*'[*'-W' *]’*]+[*’> 4уЯ]}1)-
§ 6. Начальные и граничные условия. Начальные условия для задачи о
движении вязкой несжимаемой жидкости не отличаются от таковых же условий
