Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 86

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 183 >> Следующая

основным уравнениям движения, а потому, что они не выполняют пограничных
условий. А это означает, что завихренность Движений вязкой жидкости
обусловливается наличием граничных условий, т, е. существованием
прилипания жидкости к стенкам.
400
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
|ГЛ. II
Поэтому в движениях вязкой жидкости следует, вообще говоря, ожидать
наличия большой завихренности в областях вблизи стенок, в то время как в
областях, далёких от стенок, движение может приближаться к
потенциальному.
Особенно большое значение приобретают эти рассуждения в случае жидкостей
с очень малыми коэффициентами вязкости. В самом деле, в этом случае
уравнения движения всюду очень мало отличаются от уравнений движения
идеальной жидкости и поэтому казалось бы, что соответствующие решения
уравнений идеальной жидкости должны давать движения жидкости, очень мало
отличающиеся от истинных движений вязкой жидкости. Но вся беда в том, что
указанные решения уравнений идеальной жидкости не могут, вообще говоря,
удовлетворить пограничным условиям, имеющим место для вязкой жидкости.
Это приводит к тому, что движение даже маловязкой жидкости может очень
сильно отличаться от движения идеальной жидкости и притом, главным
образом, вблизи стенок.
§ 7. Диссипация энергии. В этом и двух следующих параграфах мы рассмотрим
ряд общих свойств движений вязкой жидкости, причём будем исходить из
выведенных выше общих уравнений движения.
Вглядываясь внимательным образом в уравнения (5.1), мы можем прежде всего
подметить необратимость процессов, описываемых этими уравнениями. Это
означает следующее: рассмотрим некоторое движение вязкой жидкости,
происходящее под действием сил, не зависящих от времени, и в некоторый
момент времени t — О определим поле скоростей; переменим теперь
направления всех скоростей на обратные и примем это распределение
скоростей за начальное; тогда жидкость будет совершать некоторое
движение. Если бы жидкость была идеальной, то каждая частица жидкости
проходила бы в обратном порядке ту траекторию, по которой она двигалась
до момента 1 = 0 и притом с теми же самыми скоростями, но только прямо
противоположно направленными; в случае вязкой жидкости этого
обстоятельства существовать не будет — новое движение не будет уже иметь
такой непосредственной связи с первоначальным. С математической точки
зрения это последнее утверждение сводится к тому, что если мы имеем
решения v(x, у, z, t) и р(х, у, z, t) уравнений (5,1), то функции
vx(x, у, z, t) = — v(x, у, z, —t), 1 рх(х, у, z, t) = p(x, у, z, —t)
\
не будут уже давать решения уравнений (5.1). В самом деле, соотношения
(7.1) приводят к равенствам типа:
dv,* dv* dv,* dv* dv,* dv*
ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ
401
причём в левых частях этих равенств аргументами являются л:, у, z, t, а в
правых х, у, z, —t. С другой стороны, мы, очевидно, имеем равенства:
bvu = — Cxox, Дг/1у = — Лгу Дг>1г= — Дг;2,
а тогда ясно, что функции v1 и рх не удовлетворяют системе (5.1), что и
доказывает необратимость движения вязкой жидкости.
С этим обстоятельством тесно связано наличие так называемой диссипации
энергии, которая состоит в том, что при движениях вязкой жидкости
некоторая часть механической энергии переходит в энергию тепловую. Исходя
из уравнений движения, мы можем, конечно, обнаружить только потерю
механической энергии, причём можем подсчитать количество теряемой
энергии. О том, что эта энергия переходит в тепловую, мы судим уже на
основании общего принципа сохранения энергии, по которому при потере
энергии в одном каком-либо виде должно появиться эквивалентное количество
энергии в других формах.
Рассмотрим внутри жидкости произвольный объём т, ограниченный
поверхностью 5. Как выше, обозначим через F массовую силу. Элемент dx
имеет массу р dr, поэтому массовая сила, приложенная к элементу dx, будет
равна Fpdx, а работа этой силы за время dt будет равна F-vpdxdt, ибо
перемещение элемента жидкости dx равно v dt. Работа всех массовых сил,
приложенных ко всем элементам объёма х, будет равна:
Далее, к элементу dS поверхности 5 приложена сила pndS, работа которой за
время dt будет равна рп ? vdS dt, а работа поверхностных сил, приложенных
ко всем элементам поверхности S, будет равна:
5
Пользуясь формулой (3.1) и формулой Гаусса, мы можем преобразовать
выражение Л2:
Л2~ f {px-vcos(n, х)-\-ру ? v cos (ti, у)-\-pz ? v cos (п, z))dSdt=z
HPx:-P) д(ру-у) д (р2 ? у) _ / дрх дру dpz \
Ох "г- ду dz \ дх ' ду ' дг j '
(7.2)
(7.3)
X
мы имеем далее:
26 Теоретическая гидромеханика, ч. II
402 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
причём мы пользуемся следующим обозначением:
dv , dv , dv
Е—Рх "dx^~Py ' dy ~^~Pz ' dz ~
dvx dvy dvz dvx dvy dvz
“ Pxx ~dx ' Рху Pxz ~dx ' pyx ~dy~ г Руу ~§y ~r ~gy ~r
_l_ i dl±
“I Pzx dz “Г Pzy dz ' Pzz dz
или, что то же,
Е — РххЧ^Г РууЧ~\- РггЧ"^ Рху®г~\~ Pxz®2 + РуА* (7-4)
Итак,
Аг -)- Л2 = J [F ? vp -j- div П • v -А- Е\ di dt.
X
Воспользуемся теперь уравнениями движения (4.5), тогда получим
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed