Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Л) —)— А2 — J [W ? ®р -f- Е\ di dt.
X
Но если обозначить через Т кинетическую энергию рассматриваемого объёма:
t=f -f dz’ (L5)
г
то будем, очевидно, иметь:
ат
и так как
то
X
( Хр \ 1
d I-g-J — -^d{V’V) = V’dv — V'Wdt,
dT — J pv • wd-c dt.
X
Поэтому окончательно получаем:
Ai —1~ А<2 = dT —j- J" Е dт dt. (7*6)
X
Это равенство говорит, что производимая массовыми и поверхностными силами
работа только частью идёт на увеличение кинетической энергии Т. Другая
часть этой работы, которая, будучи отнесена к единице объёма и единице
времени, численно равняется Е, в случае несжимаемой жидкости пропадает,
как механическая работа.
ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
403
Таким образом, в случае несжимаемой жидкости количество диссипи-рующейся
энергии, т. е. количество механической энергии, превращающейся в
тепловую, будучи отнесено к единице времени и единице объёма,
определяется выражением (7.4).
Если воспользоваться формулами типа
Рхх = -РЛ- 2Fi> Рху = Р63 и условием несжимаемости
div v = 0,
то легко получим другое выражение для
Е = р. [2ei 2в2 -)- 2е3 -)- 0^ -J- 02 -j- 03] —
Эта формула показывает, что диссипация энергии отсутствует только в таких
движениях жидкости, когда все составляющие тензора скоростей деформаций
приводятся к нулю, т. е., когда движение сводится к комбинации
поступательного и вращательного движений, иначе говоря, сводится к
движению твёрдого тела.
§ 8. Обобщение уравнений Гельмгольца. В главе V части первой при
рассмотрении вихревых движений в идеальной жидкости были выведены
уравнения Гельмгольца. Смысл этих уравнений заключается в том, что они
дают возможность количественного учёта изменений, происходящих с вихрями.
Выше было отмечено, что громадное большинство движений вязкой жидкости
является движениями вихревыми. Понятно поэтому то большое значение,
которое должны иметь в случае вязкой жидкости уравнения, аналогичные
уравнениям Гельмгольца. К выводу этих уравнений, протекающему совершенно
аналогично случаю идеальной жидкости, мы теперь и приступим, причём мы
предположим для определённости, что имеем дело с вязкой несжимаемой
жидкостью, находящейся под действием массовых сил, имеющих потенциал.
Тогда основные уравнения гидромеханики даются формулами (5.4), первая из
которых имеет вид:
+ й X ® — — grad Н — v rot й.
Возьмём от обеих частей этого равенства операцию rot, тогда получим:
rot —(— rot [tJ X ‘t'J = — v rot rot Q, (8.1)
26*
404
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
ибо rot grad Н = 0. Заметим теперь, что, с одной стороны,
div v — 0,
с другой стороны,
div Q = div rot v = 0.
Поэтому формула векторного анализа
rot (а Xb) = a div Ь — b div а (Ь ? V) а — (а ? V) Ь сразу даёт нам, что
rot (Q X v) = (v • V) Q — (Q • V)v.
Тогда так же формула (5.3) сразу показывает, что
Д Q = — rot rotQ.
Замечая, наконец, что
rni dv __ д rot v _ dQ
W ~ dt ~~ ~dt '
мы можем записать уравнение (8.1) в виде:
?^ + (» • V) Q — (Q • V)© = vAQ
или короче:
^-^(Q.V)® + vAQ. (8.2)
Это уравнение, равносильно трём скалярным уравнениям, первое из которых
мы выписываем: dQx . dQx . dQx . dQx ~ИГ V* ~dx~ Vy ~~ду~ vz ~dz~ ~
= 2^ + 2y^- + 2^ + vAQ,, (8.3)
и представляет собою обобщение уравнения Гельмгольца. Полагая v— 0, мы
получим уравнения, установленные Гельмгольцем для случая идеальной
несжимаемой жидкости. В главе V части первой было подробно исследовано
физическое значение этих последних уравнений. Из сказанного там вытекает,
что уравнение (8.2) при v = 0 является математическим выражением
следующего факта: вихри с течением времени изменяются таким образом, что
вихревая линия все время совпадает с той жидкой линией, с которой она
совпадала в начальный момент времени, причём интенсивность любой вихревой
трубки с течением времени не изменяется. Иными словами, вихри
перемещаются вместе с частицами. Таким образом, те члены уравнения (8.2),
которые не зависят от вязкости, определяют такое изменение вихрей,
которое можно коротко охарактеризовать как перенос вихрей вместе с
частицами жидкости.
ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИИ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
405
Остаётся выяснить какое значение имеет последний член в уравнении (8.2)
или в уравнениях (8.3). Рассмотрим, например, уравнение (8.3) и заметим,
что, как показывается в векторном анализе1),
где М есть переменная точка сферы 5 с центром в точке М0, радиус которой
равен е. Отсюда вытекает, что если (Дф)уц0 > 0, то среднее значение
функции ср на бесконечно малой сфере с центром в точке М0 больше значения
функции ср в центре М0 этой сферы; если же (Д<р)д10 < 0, то среднее
значение функции ср на сфере меньше значения этой функции в центре сферы.
Вглядываясь теперь в уравнение (8.3), мы замечаем, что если Дйж > 0, то
от члена с вязкостью величина dQx/dt получает положительную слагаемую, т.
е. в этом случае влияние вязкости сказывается в уравнении 2^. Но, как мы
только что указывали, в этом случае среднее значение Qx на бесконечно
малой сфере больше значения Qx в центре этой сферы. Таким образом
