Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
вязкость стремится сравнять значение Qx в какой-либо точке со значениями
Qx в окружающих точках. Аналогичные обстоятельства имеют место и в случае
Д2Ж •< 0. Отсюда мы можем вывести заключение, что действие вязкости
сводится к выравниванию значений вихрей внутри жидкости. Коротко этот
процесс выравнивания величин вихрей можно назвать диффузией вихрей. Итак,
член v Д2 в уравнении (8.2), зависящий от вязкости, определяет изменение
вихрей, сводящееся к их диффузии. В дальнейшем мы будем иметь несколько
конкретных примеров диффузии вихрей.
Особенно простой и важный вид получает уравнение Гельмгольца в случае
плоского движения. В этом случае vz = 0, a vx и vy не зависит от г.
Уравнение неразрывности принимает вид:
и показывает, что существует функция тока W (х, у, t), через которую
проекции скорости выражаются формулами:
Из трёх составляющих вихря только одна Qz может быть отлична от нуля. А
именно, мы имеем:
Q
dvy dvx
№.
(8.5)
'г
дх ду
‘) См., например, Кочин Н. Е., Векторное исчисление, ГОНТИ, 1938, стр.
197.
406
движение вязкой жидкости
[ГЛ. п
Обобщённое уравнение Гельмгольца сводится к одному уравнению,
аналогичному уравнению (8.3), имеющему вид: д32 . dQ2 . dQz . „
-дГ + **-§7 + *у-§? = ',баг. (8.6)
Подставляя сюда значения vx, vy и й2> окончательно находим следующее
уравнение для функции тока ЧГ:
(ЭДЧ- , <ЭД4” № адЧ'
sr + W-дГ—(8-7>
Это уравнение, играющее фундаментальную роль при изучении плоских
движений вязкой жидкости, является, таким образом, математическим
выражением тех изменений, которые происходят с вихрями в этом движении.
§ 9. Закон подобия. Число Рейнольдса. В предыдущих параграфах мы уже
вывели, опираясь на общие уравнения движения вязкой жидкости, целый ряд
свойств этих движений, например, что эти движения должны быть вихревыми
движениями, что с течением времени происходит диффузия вихрей, что
кинетическая энергия движения частью переходит в тепловую и т. д.
В настоящем параграфе мы, также исходя из общих уравнений гидромеханики
вязкой жидкости, рассмотрим очень важный вопрос о законах подобия в
гидромеханике, а также приведём ряд связанных с этим вопросом
соображений.
Вопрос о подобии в гидромеханике особенно важен потому, что
экспериментальные исследования могут быть произведены зачастую только над
моделями тел и по этим экспериментальным данным необходимо бывает
выяснить, как будут вести себя в соответствующем потоке сами тела.
Положим, для определенности, в основу наших рассуждений уравнение
гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости. Выпишем одно из этих
уравнений:
+ w О?*- _L v = z — 1 *?- 4- vAt, (9 1)
dt ' x дх ' у dy z dz p dz ' z' v • J
Рассмотрим теперь какое-нибудь движение жидкости, например обтекание
сферы радиуса а потоком, имеющим на бесконечности скорость U, или течение
жидкости внутри цилиндрической трубы радиуса а со средней скоростью U и
т. п.
Производя соответствующие экспериментальные исследования, мы будем иметь
дело с различными размерами обтекаемых тел, с различными скоростями
движения и с жидкостями различной вязкости. В соответствии с этим, в
результате опытов получается зависимость формы течения и других
интересующих нас величин, как, например, численного значения
сопротивления, испытываемого телом при его движении в жидкости, от целого
ряда параметров. Оказывается,
ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
407
однако, что, изучая движения жидкости около или внутри геометрически
подобных тел, мы при определённых соотношениях параметров получаем
геометрически подобные течения. А это имеет своим следствием, что
интересующие нас величины, как, например, величина сопротивления,
испытываемого телом, могут зависеть только от определённых комбинаций
упомянутых выше параметров. Для целей обработки экспериментальных данных
это обстоятельство имеет громаднейшее значение, так как оно позволяет в
большом числе случаев сводить результаты экспериментов к выявлению
функциональной зависимости от одного или двух независимых переменных.
Переходим теперь к более подробному рассмотрению всего этого комплекса
вопросов.
Установим прежде всего достаточные условия механического подобия двух
течений жидкости около или внутри двух геометрически подобных тел.
Обозначим через tx, хх, ух, zx, vx, Хх, Yx, Zx, рх, px, vx величины,
относящиеся к первому течению, а через t2, х2, у2, г2< ®2> Х2, У2, Z2,
р2, р2, v2— величины, относящиеся ко второму течению. Если
рассматриваемые течения механически подобны, то после надлежащего выбора
начала координат и начала отсчёта мы будем иметь соотношения:
^- = Ct, ^ = = = (9.2)
ti 1 хх х, г, /, *’ 4 7
где tx и t2 — соответствующие моменты времени, хх, ух, zx и х2, у2, z2 —
координаты соответствующих точек, 1Х и 12 — соответствующие размеры; Ct и
Ct суть постоянные. При этих обозначениях мы имеем далее, в силу самого
понятия механического подобия:
Щ(х2, у2, z2, t2,) = Cvvx(xx, ух, zx, tx), (9.3)
где Cv есть новая постоянная, равная при этом С^Ср ибо, например,
