Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
форме:
dvx
dt
dvs,
dt dv,
dx
y+'-(
1 p \ dx <JPxz
dp у x ! dpzx
~dj~^
dp
yy
dz
dpzy
)•
dt
dy
Фуг
p \ dx
dy
dz
dPzz
dz
(4.8)
Воспользуемся теперь формулами (3.21), (3.22) и предположим, что р. =
const. Тогда без труда получим, что, например:
(div П)Л
дрх
dp
ух
dPz
др
dx
dy
dz "
d2v.
dp
dx
2
3^
1 dvr
dx \ dx
dy2
d div v dx
dv.,
dx
d2v.
2 d div ©
3-p-------------•
dx
d2vx
d2vx
Их2'
d2v,
Ь p(
dx dy d2vr .
dz2 ' d2vx , d2Vy
dx dz
dx2
dy
dvz
dz
)-
' dy2 n dp 1
лН
?) +
dz2
d div v •
ЗГ^ ~~dx i~
Iх &VX.
Поэтому, выписывая ещё в полном виде проекции ускорения, получим из (4.8)
следующие окончательные уравнения движения вязкой жидкости:
dvx , dvx , dvx .
dt
dv.
dt
dt dx
- V,,
dv y y~dy dvz dy
-v.
dvx
dz
dvy
z dz
dvz
dz
? X -
1 dp
v d div v
= Y-
p dx 1 dp
p dy
+
3 dx v d div v
-vAvr
p dz 3
3 dy v ddiv®
У’
dz
-v Дгц
(4.9)
К этим уравнениям нужно присоединить ещё уравнение неразрывности
Ф d(pv^) d (pvy) d(?t/z)
dt
dx
dy
dz
: 0.
(4.10)
Уравнения (4.9) называются уравнениями Навъе-Стокса. Они были
опубликованы французскими учёными Навье (Navier), рассматривавшим только
случай несжимаемой жидкости, в 1827 г., и Пуассоном (Poisson),
рассматривавшим случай сжимаемой жидкости,
388
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. II
в 1831 г.'). И тот и другой исходили из гипотетических представлений о
молекулярных силах. В 1843 г. Сен-Венан (Saint-Venant) и в 1845 г.
Стокс2) (Stokes) дали новые выводы уравнений (4.9), по образцу которых
построено и наше рассуждение.
Уравнения (4.9) имеют очень сложный вид, поэтому их точное интегрирование
удаётся лишь в редких случаях. Однако в ряде случаев получается хорошее
совпадение результатов экспериментов с результатами вычислений,
основанных на использовании их. Это показывает, что уравнения (4.9) с
большой степенью точности описывают движения действительных жидкостей.
Можно поэтому сказать, что построение теории движения вязких жидкостей
сводится к всестороннему исследованию этих уравнений.
§ 5. Различные формы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости. Если
мы имеем дело с движением вязкой несжимаемой жидкости, то четырёх
уравнений (4.9) и (4.10) недостаточно для определения пяти неизвестных
функций р, р, vx, vy, vz. В этом случае необходимо учитывать также и
термодинамические свойства изучаемых процессов.
В § 10 этой главы мы дадим подробный вывод дополнительного соотношения —
«уравнения притока тепла» для вязкой сжимаемой жидкости, а пока обратимся
к жидкости несжимаемой.
Уравнениям движения вязкой несжимаемой жидкости можно придать различную
форму; в одних случаях выгодно пользоваться одной формой уравнений, в
других — другой.
Прежде всего, уравнения (4.9) и (4.10) для случая несжимаемой жидкости
упрощаются следующим образом:
uvx I v иих dt т х дх
dvy
+ vx~d7
~r
dvy
dt
dvz
dt
dv, '-*? dx
У dy dv.
+ г,у 17
I dv„
+ 13T“
dvx , dvy
dv у 'Z~dz
dx ' dy
d v,
"*17" dvz
dz
Y
- 0.
1 dp
vw
1 dp
P dz
+ vA®,.
+ v Avz,
(5.1)
>) N a v I e г С. L., М. H. Memoire sur les Lois du Mouvement des
Fluides, Mem. de l’Acad. des Sciences 6 (1872), P о i s s о n, S. D.,
Memoire sur les Equations generates de l’equilibre, et du Mouvement des
Corps solides elasti-ques et des Fluides. Journal de l’Ecole
Polytechnique 13 (1831).
2) Saint-Venant, Note a joindre au memoire sur la dynamique des fluides,
Comptes Rendus de l’Acad. a Paris 17 (1843), 240; Stokes О. O., On the
Theories of the Jnternal Friction of Fluids in Motion, Math, and Phys.
Papers 1, 75.
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
389
В векторной форме эти уравнения имеют вид:
~ — F—i- grad р ч Дг»; divu=0.
(5.2)
При v = 0 эти уравнения приводятся к уравнениям движения идеальной
жидкости.
Последние уравнения были записаны нами в § 6 — 7 второй главы части
первой, в так называемой форме Ламба. Дадим обобщение этой формы на
случай вязкой жидкости. Для этого заметим, что мы имеем для любого
вектора а следующее тождество:
Применим теперь это тождество к вектору скорости несжимаемой жидкости г»,
причём воспользуемся последним равенством (5.2) и
обозначением
Вспоминая уравнение (6.4) главы II части первой, можем поэтому переписать
первое уравнение в следующем виде:
Предположим ещё, что массовая сила F имеет потенциал V:
тогда уравнения гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости примут
следующий вид:
Во многих случаях, как, например, при изучении вопроса об обтекании
цилиндра или сферы, бывает удобно пользоваться, вместо прямолинейных
прямоугольных координат дг, у, z, криволинейными координатами, чаше всего
ортогональными, например, цилиндрическими или сферическими. Представляет
поэтому интерес иметь
Да = grad div а — rot rot а.
(5.3)
Q = rot г»,
тогда получим
Дг» — — rot Q.
f) <7J fl2 1
-Щ -f gfad ~2 + 9 x V — F— — grad p — v rotQ.
F= — grad V,
и введём обозначение
-J-12 X v — — grad H — v rot Q,
div г» = 0,
= rot г»,
(5.4)
