Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 80

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 183 >> Следующая

и к системе координат х', у', г':
'7? = ?. + ?2+?_з' откуда, на основании вышеупомянутых формул, выводим:
Vr = Vi+?3 + ?2 •
Сравнение с формулой (3.9) приводит нас к искомому соотношению а2 — аг.
Вводя теперь обозначения
X —)— 2р., о-2 =— X,
мы можем переписать формулы (3.9) и (3.10) в следующем виде:
V*' — Х (б1 + Ё2 + *з) + 2?д ’
Vy' — • (3.L1)
Vz' =^(е1 + е2 + ез)+2^3-
Докажем теперь, что в системе координат х', у', z' все касательные
напряжения хх, ,, хх,г, и т. д. обращаются в нуль. Достаточно обнаружить,
что хх, , — 0.
Согласно допущению II, мы должны иметь:
Vy = ?i + V2 + ?3' (3.12)
где а4, аь, а6 — некоторые постоянные коэффициенты. Но произведём
преобразование координат
х'=.х', у' — — у', z'=— z'.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
381
Новые оси координат опять будут главными осями тензора скоростей
деформаций, причём имеют место формулы:
V— — v , V— = ?— v ,, V— — — v ,,
х' х' у’ у’ ' г г
dv— dv dv— dv
X’ X’ ~ y' y'
-ev e2= =r = = e2,
dx' dx' 1 dy' dy’
dv— dv ~ z' z'__________________________________________________
^3’ ^x’ y' ' 1x'y’•
dz' dz'
Последняя формула вытекает из следующих соображений: zx, , есть проекция
на ось у' напряжения, действующего на площадку, внешняя нормаль к которой
имеет направление оси х'\ есть
проекция на ось у' напряжения, действующего на ту же самую площадку, ибо
оси х' и х' одинаково направлены. И так как оси у' и у’ имеют прямо
противоположное направление, то ясно, что
'’х' у' " ^д:гу'*
Вследствие допущения II, мы должны иметь формулу:
XFF = аА + а5е2 + a6e3-
На основании предыдущих равенств мы выводим отсюда, что — Vjr' = e4e 1 +
V2 + V3' но тогда сравнение с формулой (3.12) показывает, что
а4 — а5~ав — О,
иными словами, что
т , , = 0. * у
Итак, мы показали, что
т , , = х , , = т , , = т , , = т , , = 1 , . = 0. (3.13)
x'y' x'z' y'z' у’х’ z'y’ z'x' к '
Собирая вместе формулы (3.8), (3.11) и (3.13) и припоминая, что
е\ + Ч + е3 = div v,
приходим к следующим выражениям для составляющих тензора напряжений в
системе осей х', у', г', служащих главными осями тензора скоростей
деформаций:
Рх’х’ = —P + ^div® + 2p.e1,
Руу = — /? + >. div© + 2ae2,
PZZ' —~Р~\- к div г» + 2и<?3,
Рх’У = Px'z' = Pyx’ = Pyz' = Pz'x' = Pz-y = °-
(3.14)
382
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Из этих формул следует, что главные оси тензора напряжений совпадают с
главными осями тензора скоростей деформации: Выведем теперь выражения для
составляющих тензора напряжений в произвольной прямолинейной
прямоугольной системе координат.
Предварительно остановимся на нескольких элементарных понятиях из теории
тензоров.
Легко прежде всего убедиться, что таблица девяти величин, заданных в
любой системе координат следующим образом:
/ =
(3.15)
определяет тензор; этот тензор называется единичным тензором. Пусть,
далее, мы имеем два тензора:
А ?
а
13
«21 «22 «23
*32
*33
21 *22
31 *32
*,
23
*33
тогда под суммой этих тензоров А^В и под произведением kA — Ak тензора А
на постоянное число k понимаются следующие тензоры:
(3.16)
При этих обозначениях девять равенств (3.14) могут быть следующим образом
записаны в тензорной форме:
«ц + *п «12 + *12 «13+ *13
А-±В = «21 + *21 «22 + *22 «23 + *23
«31 + *31 «32 + *32 «33 +‘ *33
kan ka12 *«13 |
II II •«г ka2i ka22 *«23 ( •
? kazl *«33 '
Px'x' Px'y' Px'x' 1 0 0
Py’x' Pyy Руг' — (— P + * div 2?) 0 1 0
Pyx' Px'y' Px’x' 0 0 1
-)- 2 р. {
О о
или, вследствие (3.4), (3.15) и (2.11):
II = (— р -j-). div v) I -f- 2и.Ф.
(3.17)
Но если соответствующие составляющие двух тензоров равны в какой-либо
системе координат, то они будут равны и в любой
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ
383
другой системе координат. Поэтому предыдущее равенство в системе осей х,
у, z принимает вид:
Рхх Рху Р Х2 I
Рух Руу Руг
Pzx Ргу Pzz •
( 1 0 0 ' е. 2 93 2 02
р + X div v) | 0 1 0 -+- 2р. "2 03 Ч т9>
1 0 0 1 . ~2 °2 "2 ?з
откуда вытекают следующие равенства:
Рхх = - Р + Х div ® + 2txel’ Рх у = Ру.г = }А>
=-J» + * div ®+2iiea, = = I (ЗЛ8)
pzz = — pi-l div v -f 2[xg3. pyz = pZy = wOj.
Из этих выражений ясно видна симметричность тензора напряжений.
Складывая первые три формулы (3.18) и вспоминая, что
е1 + ?2 + г3 = div
3р (3). -f- 2а) div v,
(3.19)
Рхх
dvx
Р+2'Х~Ш~’
dvv
Руу=-Р+
dv,
Р + 2'^-дГ>
(3.20)
легко получим равенство
Рхх + Руу + Р
В несжимаемой жидкости, где div v ?=. 0, коэффициент л сам собой выпадает
в выражениях для напряжений, и последние принимают вид:
/ uvx cv„ \
Рху = Рух = *\-Щ- + -а~)’
/ dvx dvz Рхг Pzx Р" у 'Ь дх
__ _ (д1'У г dv* \
Руг - Рzy \ dz ду )
В частном случае, когда мы имеем течение, параллельное оси Ох, так что vy
= vz = 0, причём скорость течения vx = v есть функция одного только у, мы
получаем из формул (3.20) для касательного напряжения выражение
dv
Рху РуХ Iх >
совпадающее с формулой (1,3), с рассмотрения которой мы начали эту главу.
384
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Мы уже упоминали, что постоянная ;х называется коэффициентом внутреннего
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed