Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
трения или коэффициентом вязкости. Нетрудно установить размерность этого
коэффициента. Если М есть символ единицы массы, L — единицы длины и Т —
единицы времени, то
9 _ о
символом единицы ускорения будет LT ' и единицы силы — MLT , поэтому
символом единицы напряжения рх , являющегося силой, отнесённой к единице
площади, будет ML~lT~2, с другой стороны, размерностью величины dvjdy
служит, очевидно, Т~\ Так как
Рху
^ dvx dvv '
+ У
ду 1 дх
то для размерности р получаем выражение MLT1 Т~1. Так, например, в
системе CGS р будет измеряться в г/см ? сек. Например, коэффициент
вязкости для воды при температуре 0~' С равняется 0,018 г/см-сек, а при
температуре 20° С этот коэффициент имеет значение 0,010 г/см ? сек\ для
воздуха при температуре 0°С и давлении 760 мм ртутного столба коэффициент
вязкости равняется 0,00017 г/см • сек.
Часто для характеристики вязкости употребляют вместо р другую величину, а
именно
Р .
v = —;
р
эта величина носит название кинематического коэффициента вязкости. Так
как размерность р есть ML 3, то размерностью v является L2T~1-, в системе
CGS значения v измеряются в см2/сек; например, при температуре 0°С
кинематический коэффициент вязкости для воды равняется 0,018 см2/сек, а
для воздуха при вышеуказанных условиях 0,133 см2/сек.
В общем случае сжимаемой жидкости коэффициент X остаётся наряду с р, так
что формулы для напряжений принимают вид:
dvx ( dvx dvy\
Рхх =-Р + Ь div ®+2р ; Рху = рух = Р — j,
Р
dvv fdvr dv,\
= _p_).Xdiv®+2p-5-; рхг = ргх = г(-д?- +ж).
уу у г 1 1 ду
dv2 (dvy dvz \
Pzz =-p + Xdiv®+2pT-; pyz=,pzy= p^—+
• ду
' dvx dvz-
. дг 1 дх
? dvy dv, ?
(3.21)
Чтобы определить коэффициент X, можем сделать следующее допущение:
примем, что давление в вязкой жидкости всегда равно взятому с обратным
знаком среднему арифметическому из трёх напряжений, приложенным к трём
взаимно перпендикулярным площадкам. Формулы (3.19) показывают, что это
само собой выполнится для
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
385
несжимаемой жидкости. Чтобы это допущение выполнялось и в общем случае,
надо, очевидно, положить
§ 4. Уравнения движения вязкой жидкости. В главе II, § 2 части первой
было выведено общее уравнение движения сплошной среды;
Здесь т означает произвольный объём, вырезаемый внутри жидкости
поверхностью Д, р—плотность частицы жидкости, F— вектор массовой силы,
отнесённой к единице массы, w — ускорение частицы жидкости, п —
направление внешней нормали к поверхности 5, рп — вектор напряжения
поверхностной силы. Мы имеем при этом равенство
Преобразуем теперь поверхностный интеграл, входящий в формулу (4.1), в
объёмный. Для этого заметим, что имеет место следующая формула;
где а есть произвольный вектор, непрерывный вместе со своей производной
по х в объёме т.
В самом деле, если составляющие вектора а суть ах, а , аг, так что
a = axi-\-ayj-\-azk,
где i, j, k — координатные орты, то мы имеем, применяя формулу Гаусса,
следующие три формулы:
') Некоторые физики склонны вводить понятие второго коэффициента вязкости
или «второй вязкости» и не пользоваться допущением, приводящим к формуле
(3.22), см., например, Ландау Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. М., Механика
сплошной среды, Гостехиздат, 1944.
25 Теоретическая гидромеханика, ч. II
Р1).
(3.22)
(4.1)
pn=pxcos(n, x) + pycos(«, y) + pzcos(n, z). (4.2)
(4.3)
s
s
386
движение вязкой жидкости
[ГЛ. II
Умножая первое из этих равенств на i, второе на у, третье на k и
складывая три полученные формулы, мы докажем равенство (4.3).
Но тогда ясно, что на основании равенства (4.3) и аналогичных ему
равенств, мы имеем:
/ pndS= f iPx cos(п, x)-\-pycos(n, y)~\~pzzos(n, z)]fi?.S =
-/(&+?+?)*
г
Потому равенство (4.1) принимает вид:
Г Г/с ч , °Р* . дрУ I J
J L(iF-'a’)p + ^+^+^F.rx==0-
т
Мы, конечно, предполагаем при этом, что все те функции и их производные,
которые мы рассматриваем, являются непрерывными функциями от своих
независимых переменных. Но при этом условии предыдущее равенство, в
котором t есть произвольный объём жидкости, может иметь место только в
том случае, если в каждой
жидкости в любой момент движения подынтегральная функция будет равна
нулю.
Мы приходим таким образом к следующему уравнению движения:
, '(дРх . дру дрг\
F-w+^(l^+-jr + -dF) = Q- <4-4>
Его можно записать также в форме
w — F-\- — div П, (4.5)
если условиться называть расхождением тензора П и обозначать через div II
вектор
дРх , дРу , дРг .. _ ,, г.
1ПГ + 1>Г + 1ь=й1Угт (4‘6)
Проекциями этого вектора на оси координат, очевидно, являются:
др
XX . друх , дР ?Х
(divll),----------, -gj- , -&г
(А-.„ rrs дРхУ I дрУУ i дРгУ
(div П)у = —j 1 gj-
dp
xz . dPyz . dp
zz
(div II),
dx ' dy ' dz
(4.7)
ибо проекциями вектора px являются pxx, pxy, pxz и т. д.
§ 41
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
387
Обозначая проекции массовой силы Fна оси координат через X, V, Z и
вспоминая, что проекциями ускорения w являются величины dvjdt, dv Idt,
dvjdt, найдём из (4.5) уравнения движения в следующей
