Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
390
движение вязкой жидкости
[ГЛ. II
уравнения гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости в криволинейных
ортогональных координатах.
Пусть qv q2< q3 суть криволинейные координаты, так что в некоторой
области изменения этих координат имеются зависимости (для краткости мы
обозначаем х через хг, у через х2 и z через Х3):
решая эти три уравнения относительно qv q2, q$, получим обратные
зависимости:
Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты;
условием для этого является тождественное выполнение следующих трёх
равенств:
Тогда, как было показано в § 20 главы I части первой, мы имеем следующие
выражения для основных операций векторного анализа — градиента,
расхождения и вихря:
*1 = /<(?!. 02. Яз) 2, 3);
qi = Fi (хг, х2, х3) (1=1, 2, 3).
з
Вводим далее в рассмотрение коэффициенты Ламэ:
д (д3Я,Яг) дЯг
(5.5) ]. (5.6)
(5.7)
Исходя из этих формул и пользуясь тождеством (5.3), нетрудно найти
выражения для проекций на оси криволинейных координат вектора До.
Обозначая через (До)л проекцию этого вектора на напра-
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
391
вление касательной к координатной линии qt, будем, очевидно, иметь,
ЧТО!
д I 1 Г д(а,Н2Н3) . д(а2Н,Н,) . д(а3Н,Н2)1)_______________
dq, \ Я,Я2Я3 L dy, ^ dy2 dy3 J |
1 ( д Г Я3 д (Н2а2) ] д Г Н3
(Да),:
_1_
:я,
Н,Н,
Н,Н2 ____д_
dq%
dq | Я2
L]-?[-
dy2 д{Н,а,)
H3H,
4
я,я2
д
*№,)_] _
d (Я3а3)
dq3
Я2
ЯзЯ,
dy.
]}?
dy3 J dy3
Для (Да)2 и (Аа3) имеем две аналогичные формулы. Если раскрыть предыдущее
выражение, то после длинных, но совершенно элементарных вычислений
получим следующую окончательную формулу:
(Да)! =
4"
1 d2a,
1 дЧ,
Щ dyf Щ
dq\
I нм.
.___1_ дга|
я| "^Г
д[Ш±\ д(Ш*А д(^\
\ Я, ) , да, °\ Я2 ) . да, 0 \ Я3 )
da.
dy, dy,
-ь
<?Я, da,
dy2
dЯ2 da2
+
dq2 dq, dЯ3 da3 dy, dy3 d r Я3
Я,Я22
dy,
d
dyj
dq2
Я2Я3
]+
+ {нтж[: + {^
1
Hi
d//j_
dq2
д(Я3Я,Л dy2 J
1(Я,Я2) j
Я!Я2Я3 1 d [
dy2 ^ dy3 2 dЯl da3 Я?Я3 dy3 dy, д(Я2Я3)]
dy3
+
dy,
Я2 dЯl
1
dy3
Я3
Я,Я,
______ _d_
Я2Я3 dy2
1 —I Яу3 L Я3я
?]Ь+
Я2
fr]b+
а"*.Н 7, J J
(5.8)
и dq 1 L Я,Я2Я3 dy3 J Я2Я3 dy3 L Я3Я, dy,
Точно так же, применяя для вычисления проекций ускорения w на оси
криволинейных координат формулу
TO = -S' = lr + (®-v)®:
Яд <7)2
4- grad -j- -(- rot v X v
и пользуясь формулами (5.5) и (5.7), после несложных вычислений получим:
W
dv,
dt
Я,
dv, . v2 dv, , v3 dvi . T н i; г ' xr -h
f,t>2 dЯ1
dy,
V,V;
H2 dq2 ~ H3 dq3 ~ H,H2 dy2
dH,
dЯ,
dЯ..
Я,Я3 dy3
Я,Я2 dy, Я3Я, dy,
+
(5.9)
11 Две аналогичные формулы для w2 и w3
392
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(ГЛ. и
Теперь мы могли бы уже написать уравнения движения в проекциях на
криволинейные оси координат, но предварительно мы хотим ещё показать, как
вычисляются в криволинейных координатах составляющие тензора скоростей
деформаций и тензора напряжений. Пусть Л1, и М2— две бесконечно близкие
частицы жидкости, и пусть М1 и М2 — положения этих частиц через
бесконечно малый промежуток времени dt. Обозначим криволинейные
координаты точки Afj через qv q2, q3, а точки М2~-через ^.2 —о<72>
q3 + ?>q3. Криволинейные координаты точки Мi будут (точка над буквой
означает дифференцирование по времени):
4i = 4t + d4i = 41+41 dt. но так как мы имеем равенства
dst — Hi dqt, = =
то будем иметь:
Точно так же, обозначая координаты точки М2 через qi+bqt, будем иметь:
I ьп' I | vi (?i + Яг + bq2, <7з 4~ t) ^
1 + ~ Ч*+ ЬЧ‘ + *,(*i+ »*„*?+8*. q3 + bq 3) dL
Сравнивая это равенство с предыдущим, находим:
4=b4i+b(-jfr)dt.
Но ясно, что bq’. означает значение bqt в момент t + dt\ можно
поэтому, с другой стороны, написать, что
bq'l = bqi-\-dlql.
Поэтому мы имеем следующее равенство:
dbqi = o^+-^jdt (i—1, 2, 3).
Рассмотрим теперь бесконечно малый жидкий отрезок M1Af2 = ^ и его
удлинение dbs = MiM2 — МгМ2. Для квадрата бесконечно малого элемента
длины 5s — МгМ2 мы имеем в криволинейных координатах выражение
з
bs2 = ’2lH2i(4v q2, qjbq]. i = 1
Дифференцирование даёт:
i 5] РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ 393
Мы имеем далее очевидные формулы:
3 3 3
V dHi , \д ди1 Л. V дН, vk ,,
dHi-U-dthd^ = b-d^^ dt = ^l^Trkdt'
k=\ k=l A=1
d
поэтому предыдущая формула может быть приведена к виду:
bs ? dbs ____^
' dt ~ 2л
< = 1 к = 1
Обозначим теперь через bst = Ht bqt элементарные перемещения в
направлении координатных линий, тогда можем написать:
— V V ( , щ_д_(ж)_ ъъ ) (5
dt — 2л 2л \ HLHk dq, tSi + Hk dqk bsios*)‘ (5Л0)
i-1 k-\
В случае прямоугольных координат х, у, z мы имеем Нх = Н2=
= H3=l, vl==vx, v2 = vy, v3 — vz, Ssj = 8a:, 8s2 = 8y, bs3 =
bz, и
легко убедиться, что предыдущее выражение принимает вид:
is ? dbs dvx dvv dvz / dvx dv
ovx о vv av, / a tv dv., \
= it w+srW + -sr bi +(ar+тй8*8* +
dt ~dx 1 dy y 1 dz \ dy
I dvx dvz\* s i (dvv , dvAs -
+ ГЗГ + ~dF)bx + + 6Z==
= Sj 8x2-j-e2 5y2 —f- ?3 S-г2 —f- бг 8y 8z + 02 82 8x + 93 8л; 8y. (5.11)
Но теперь, сравнивая выражение (5.10) с (5.11) и обозначая в случае
