Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 79

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 183 >> Следующая

векторов рх, ру и pz:
Рхх> Рху Рхг Ддя вектора рх,
Pyx' Руу' Руг
Ргх' Рzy' Рzz Рпх’ Рпу’ Pnz
Ру.
Pz.
Рп.
(3.2;
при этом рхх носит название нормального напряжения, действующего на
площадку, перпендикулярную к оси Ох, а рху и рХ2 называются касательными
напряжениями.
Тогда, проектируя (3.1) на оси координат, будем иметь:
Рпх — Pxxcos(n. *) + Py*cos(/i, y) + p2Jfcos(re, z),
Рпу = Рху cos (Л. X) + Руу COS (rt, у) 4- pzy COS (n, z),
Pnz= Pxzc°s(n, X) 4- pyz COS (rt, y) 4“ Pzz COS (n, z).
Введём теперь в рассмотрение ещё произвольное направление т. и обозначим
через рпт проекцию вектора рп на это направление. Так как
Рпт = Pnxcos(m. Х) + pnyCOS(m, у) 4~ Pnz COS (от, Z), то предыдущие
равенства приводят к следующей формуле: рпт = pxxcos(n, х) cos (т, л:)4-
pyxcos(n, y)cos (т, ?*) + pzxcos(n, z)cos(m, х)4-рху cos(«, x)cos(m, у)4~
Руу cos (л, у) cos (т, у) 4- pzy cos (п, z)cos(m, у)4~
+ Рхг cos(n, x)cos{m, z)4-pyzcos(n, y)cos(m, z)-+-
4-рггcos («, z)cos(m, z). (3.3)
378
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Эта общая формула содержит в себе, как частный случай, девять формул
(2,10), если мы условимся обозначать рхх через рп, рх через р12 и т. д. и
аналогично будем обозначать р-- через p^j, р--— через ри и т. д.
Но теперь мы можем утверждать, что таблица девяти величин
Рхх Рх у Pxz
11 = : Руу Руг
' Pzx Ргу Ргг
определяет тензор, который называется тензором напряжений.
Можно доказать, опираясь на общие законы механики, симметричность тензора
П, выражающуюся формулами'):
Рху Pyx' Р xz Pzx' Руг Ргу (3-5)
В нашем случае напряжений в вязкой жидкости симметричность
тензора II получится как следствие тех предпосылок, которые мы положим в
основу вычисления этого тензора.
Относительно тензора II можно повторить все то, что было сказано о
тензоре деформаций Ф. Существуют три взаимно перпендикулярные главные оси
тензора напряжений и соответствующие им главные напряжения рх, р2, рй.
Будучи отнесён к главным осям,
тензор напряжений принимает особенно простой вид;
[ Pi 0 0 |
11= 0 р2 0 . (3.6)
I о о р3 )
При этом, аналогично равенству
?1 ~Ь Ь Н"~ s3 = е1 “Г е2 ~Ь р3>
имеет место равенство
Рхх + Руу + Ргг = Р1 + Рг+Рэ> (З-7)
т, е. сумма нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные
площадки не зависит от ориентации этих площадок.
Перейдём теперь к установлению связи между тензором скоростей деформаций
и тензором напряжений в вязкой жидкости. В основу наших рассуждений мы
положим два допущения.
I. Составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости должны
приводиться к соответствующим составляющим
') См., например, Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления, 1938, стр. 363.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
379
тензора напряжений в идеальной жидкости. Иными словами, мы должны иметь
Рхх = “ Р + "v.v’ Руу = — Р + . Ргг = — Р +
Рху = 'ху’ Рхг ~ xxz Ч т- Д- (3-8)
где величины -Vl, т , хгг, хху, . . . могут быть отличны от нуля только в
случае вязкой жидкости.
II. Величины ххх, хуу, . . . являются линейными однородными функциями
от составляющих тензора скоростей деформаций, причём коэффициенты этих
функций не зависят от выбора прямолинейной прямоугольной системы
координат.
Линейный характер рассматриваемой нами зависимости вполне естественно
допустить, ибо такой тип зависимости является простейшим. Независимость
же коэффициентов рассматриваемых линейных функций от выбора координатной
системы выражает, очевидно, свойство изотропности вязкой жидкости, т. е.
свойство однородности по отношению к различным направлениям. Выводимые
нами уравнения справедливы только для таких изотропных вязких жидкостей.
Пусть теперь оси координат х', у', z' направлены по главным осям тензора
скоростей деформаций, так что 01 = 62 = 03 = О, и пусть ех, е2, с3 суть
соответствующие главные скорости удлинений, так что тензор скоростей
деформаций имеет в рассматриваемой системе координат вид (2.11). Нетрудно
определить общий вид величин т в этой системе координат. Пусть, например,
мы имеем:
V*' = aiei + fl2e2 + fl3e3’ (3-9)
где ах, аъ аг—некоторые, не зависящие от выбора осей координат,
коэффициенты. Ясно тогда, что т , и xz,z, должны определяться фбрмулами:
Vy=« 1е2+«2вЗ+азеГ> V*'=eie3+e2ei + e3e2' (ЗЛ°)
ибо достаточно переименовать в соотношении (3.9) ось х' в ось у', ось у'
в ось г' и, наконец, ось z' в ось х', чтобы получить первое из
соотношений (3.10). Аналогично получается второе из соотношений (3.10).
Покажем теперь, что а2==а3. Произведём для этого преобразование координат
х' — х', у' = Z’, Z' ~ — у';
ясно, что новые оси координат опять являются главными осями тензора
скоростей деформаций. Очевидно, далее, что в новой системе
380 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
координат мы имеем следующие формулы:
V-, = v ,, V-, — V., V-, — — v
х' х ' у г” z у'*
do— dv dv— dv
~ _______ X X_____ ~__ у' z'
Bl ~ дх' ~ дх' ~~ вх’ е<2 ~ ~др~ ~ дг' ~ ^
dv- dv ,
7 ____ г' ________ у'________
дг' ду'
Соотношение (3.9) можно применить, согласно допущению П,
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed