Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 78

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 183 >> Следующая

прямоугольную систему осей х, у, z. В этой новой системе осей
составляющие введённых нами векторов и тензора Ф примут какие-то другие
значения; условимся отмечать эти новые значения путём постановки чёрточки
над соответствующими буквами. Поставим себе задачу вывести соотношения,
связывающие новые и старые составляющие тензора Ф.
Для краткости письма введём следующие обозначения для косинусов углов
между старыми и новыми осями координат
COs(x, х) = ап, cos(x, у) = а12, cos (х, z) — а13, j
cos (у, х) —а21, cos (у, у) = а?2, cos (у, z) — а23, }
(2.6)
cos (г, х) = а31, cos (z, у) = а32, cos (z, J
(2.4)
— G2* + ~2 M~rs3^
Таблица девяти величин
(2.5)
v = ®0 = to x p,
ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ
375
Составим теперь скалярное произведение векторов v2 и р. Несложное
вычисление показывает, что
г>2 ? р = v2x\ -f ^'гу7! Ь v-ii* = ?И2 Ч~ hrf + ®з*»2 Ч- Ч-
Но очевидно, что это выражение не может зависеть от того, в какой системе
координат мы его вычисляем. Мы имеем поэтому равенство:
Sji2 -|- ?2ti2 Ч~ ?з'Ч + ^iri’ Ч~ Ч~ ~
== ?1? + е27!2 Ч- ?з'Ч Ч~ Ч~ + 0з^г/, (2. 7)
С другой стороны, вследствие формул (2.6), между старыми и новыми
составляющими вектора р существуют соотношения
% — ~с соз (х, х) Н-7] cos (у, х) + С cos (2, х) = ;ап -f Т)а21 н- Са31,
vj = ?а12 -f- rpm -f- Са32,
С = ?а13 -f- т)а23 -f- Са33.
Подставляя эти выражения в правую часть формулы (2.7), производя
вычисления и сравнивая затем коэффициенты при t2, т(2, . . . в обеих
частях тождества (2.7), мы придём к искомым формулам, из которых приведём
только две:
= ?1*11 4“ ?га12 Ч~ ?3а13 Ч" ®1а12а13 Ч~ 02а13ап Ч- 03а11а12> ТГ 6] =
в1а21а31 Ч- ?2a22a32 Ч- ?3а23а33 + J ^1а22а$3 4“ ту ®1а32а23 Ч~ 4“ ~2
02а23я31 4“ 2" ®2а21а33 Ч~ ~2 ®3а21а32 4“ у fJ3a31a22* Если бы мы ввели
обозначения
фц — ?[, Ф32 — е2’ Фз3 = ?3' )
1 1 1 \ (2.8)
®12 — ®2i ~ "2 ®3’ <^13 = <^>31 ~ ~2 ®2’ ®23 = ®32 j
то, как легко убедиться, предыдущие формулы приняли бы гораздо более
компактный вид:
Фд-2 2 ФГАА, (i, А =1,2.3). (2.9)
r=I S=1
Формулы преобразования (2.9) являются характерными для преобразования
составляющих какого-либо тензора. Именно, если мы для каждой системы
координат имеем девять величин pjk, причём значе-1111я Рп?,'
соответствующие какой-либо системе координат х, у, г,
376
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
связаны со значениями plk, соответствующими системе координат х, у, z
равенствами
з з
Ри= 2 2 PnWkr (2-Ю)
Г- 1 5=1
то говорят, что величины pik образуют тензор (точнее говоря, афин-ный
ортогональный тензор второго ранга, но мы никаких других тензоров
рассматривать не будем). Формулы (2.9) показывают, что Ф действительно
есть тензор, так что данное нами выше название «тензор скоростей
деформаций» вполне оправдано.
Рассмотрим поверхность второго порядка:
вД2 -j- е2тf -j- е3С2 -|- SjTjC -j- 02С? -j- 03?т) = С;
направим теперь новые оси координат х', у', z' по осям симметрии этой
поверхности. Тогда уравнение поверхности примет вид:
^'2 + ^'2+^,2 = с.
Мы в |дим, что в системе координат ху', z' составляющие тензора скоростей
деформаций имеют особенно простой вид, ибо, как вытекает из предыдущего
уравнения:
— 02 = ®3 — 0.
Положим ещё
?1 ~ eV В2 ~ в2’ ?3= вУ Направления осей х', у', z' носят название
главных осей тензора скоростей деформаций, величины ev е2, ег называются
главными значениями тензора скоростей деформаций или главными скоростями
удлинений.
В системе осей х', у', г' тензор скоростей деформаций принимает особенно
простой вид:
с ег 0 0 ?
(2.11)
где было приведено и уравнение третьей степени, которому эти
величины удовлетворяют.
Напомним ещё непосредственно вытекающую из обозначений (2.1) формулу:
dv,. dv.. dv,
?1 + г2 + Ез =-^+-^- + -57- = ^®- (2Л2>
Эта формула имеет место в любой системе координат, так что,
в частности, мы имеем
e1 + e2-f-e3 = div©. (2ДЗ)
ег 0 0
ф = 0 е2 0
1 0 0 «3
Величины ev е.2, е3 были уже введены в
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
377
В § 4 главы I части первой было показано, что эта величина представляет
собой кубическое расширение жидкости, отнесённое к единице времени.
§ 3. Тензор напряжений. Перейдём теперь к рассмотрению поверхностных сил,
появляющихся при движении вязкой жидкости. Вырежем внутри жидкости объём
т при помощи замкнутой поверхности 5; рассмотрим элемент dS этой
поверхности. Обозначим через п направление внешней нормали к этому
элементу поверхности. Тогда действие частиц жидкости, расположенных с
внешней стороны элемента dS, на частицы жидкости, прилегающие к этому
элементу с внутренней стороны, может быть приведено к действию
поверхностной силы pndS.
Если обозначить через рх, ру, рг напряжения поверхностных сил для
площадок, внешние нормали которых параллельны и одинаково направлены,
соответственно, с осями х, у, z, то, как было выяснено в § 3 главы II
части первой, имеет место соотношение
pn~pxcos{n, x)~\-pycos(n, у) —j— pzcos(ti, z). (3.1)
Введём теперь следующие обозначения для проекций на оси координат
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed