Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
теории маловязкой жидкости является теория идеальной жидкости, первым же
приближением для теории сильновязкой жидкости является теория, в которой
полностью выброшены силы инерции.
Как было указано выше, и та и другая приближённые теории имеют
ограниченный круг применений. Гораздо лучшие результаты дают более точные
теории, принадлежащие шведскому учёному Осе-ену (С. W. Oseen) и немецкому
учёному Прандтлю (L. Prandtl).
Основная мысль Осеена состоит в том, что при изучении движений
сильновязкой жидкости не нужно полностью выбрасывать из рассмотрения силы
инерции, а следует оставить в уравнениях, кроме сил вязкости, также и
главную часть сил инерции. Оказывается, что и при этом допущении
уравнения движения во многих случаях могут быть проинтегрированы. Примеры
такой трактовки движений сильновязкой жидкости будут нами приведены в том
же третьем разделе этой главы.
Точно так же заслуга Прандтля состоит в том, что он обратил внимание на
невозможность пренебрегать силами вязкости вблизи твёрдых стенок даже в
случае маловязких жидкостей. Вблизи твёрдых стенок образуется тонкий
пограничный слой, внутри которого необходимо учитывать влияние сил
вязкости; вне этого тонкого слоя влиянием вязкости можно пренебрегать. В
результате развития этих мыслей получается очень плодотворная теория
пограничного слоя, позволяющая разъяснить ряд вопросов, не поддающихся
решению в рамках теории идеальной жидкости, как, например, вопрос о
зарождении вихрей.
Изложению теории Прандтля посвящён последний раздел настоящей главы.
Вторая половина этого раздела посвящена другой теории, тоже относящейся к
движениям маловязкой жидкости и принадлежащей Осеену. Сущность этой
теории Осеена в двух словах такова: найти то движение жидкости, которое
получается в пределе из движения вязкой жидкости, если после
интегрирования уравнений движения вязкой жидкости мы совершим предельный
переход, устремив коэффициент вязкости и к нулю. Оказывается, что это
предельное движение будет отлично от того движения, которое мы могли бы
ожидать на основании обычной гидродинамики идеальной жидкости. Можно
думать, что движение маловязкой жидкости будет мало отличаться от
предельного движения Осеена. Нужно, однако, отметить, что Осеену не
удалось совершить предельный переход, исходя из точ-
ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ
373
ных уравнений движения вязкой жидкости. В основу рассуждений им были
положены упрощённые уравнения вязкой жидкости, и это до некоторой степени
умаляет ценность полученных Осееном результатов.
Наконец, в заключение этого параграфа заметим, что даже точные уравнения
движения вязкой жидкости не могут непосредственно описать целую группу
движений жидкости, движений, являющихся для практики, пожалуй, наиболее
интересными и важными. Мы говорим о так называемых турбулентных движениях
жидкости, отличительным признаком которых является крайне беспорядочный
характер перемещений отдельных частиц жидкости. Теории турбулентных
движений будет посвящена следующая глава, в настоящей же главе вопросы
турбулентных движений жидкости будут затрагиваться лишь попутно.
§ 2. Тензор скоростей деформации. В главе I, части первой, в §§ 5—9, был
уже подробно разобран вопрос о деформации жидкой частицы. В целях большей
ясности дальнейшего изложения мы вспомним введённые нами обозначения и
сделаем несколько дальнейших замечаний, относящихся к этому вопросу.
Рассмотрим какую-либо точку О движущейся среды; скорость этой точки
обозначим через v0.
Пусть далее А — бесконечно близкая к О точка (рис. 152); обозначим через
р радиус-вектор О А и через ?, -yj, С — проекции этого вектора на
прямолинейные прямоугольные оси координат. Как в § 1 главы 1 части
первой, введём обозначения:
dv
О
'Vn
Рис. 152.
dvx дх = 8i, dvy ~w — H’
dvz dvy — ft dvx *4 ? -1
ду 1 dz °1> dz 1 dx — 02,
1 ( dvz dvy\ (dvx dvz\
2 1 \ ду dz ) 2 1 \ dz dx j
dv.,
dz
dvr
дх
dv„
ду
dvx\
дх
ду
(2.1)
причём все эти величины вычисляются для точки О; ясно, что “а, ч)3
являются составляющими вектора
(2.2)
Как было выяснено в главе 1 части первой, скорость точки А может быть
представлена в следующем виде:
® = ®о-Г‘р1 + ®2- (2-3)
374
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ, П
где vx = со X Р есть скорость вращательного движения точки А вокруг
мгновенной оси, проходящей через точку О, причём вектор угловой скорости
равен со, а вектор ©2 есть скорость чистой деформации. Составляющие этой
последней скорости имеют вид:
носит название тензора скоростей деформации. Если этот тензор обращается
в нуль, т. е. если все девять составляющих вышеуказанной таблицы
равняются нулю, то по формулам (2.4) и скорость деформации обратится в
нуль. Это означает, что распределение скоростей частиц жидкости в
окрестности точки О даётся той же формулой
что и распределение скоростей точек твёрдого тела, т. е. что деформация
частицы в окрестности точки О отсутствует.
Рассмотрим кроме системы осей х, у, z ещё другую прямолинейную
