Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
записано в виде:
\дт,' ) _ д /г, 1 /дИ'уП"-1^) „
0(5.4) V°<5r)([ гЯСрГо Ur,) J йт*)- (35- }
Совершенно аналогично тому, как мы поступали в случае Блазиуса, введём
вместо 47 величину С по формуле
<Р=21Лда, (35.41)
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
615
а также безразмерную величину
(35.42)
тогда
и если ввести ещё ? = ?:
и D(i', 2У~4QUZ О D (g, т) D (5, х) ‘ D (?, т])
'ГГ
D (*> Т/)
2;
(J2
Вставим ещё в (35.39) -g^- — р С", перенесём все члены в одну
сторону, произведём сокращения и привлечём (35.6). Получим окончательно
Уравнение это по виду отличается от уравнения Блазиуса (32.7) лишь
наличием при выражения в скобке, возведённого в степень п—1. Краевые
условия для С те же, что и в случае Блазиуса. По (35.41) и (35.43)
В отличие от того, что имеет место в несжимаемой жидкости, ско-
увидим далее, вхождение это будет слабым. Однако величина U/at будет
весьма существенным образом входить в представления % и rj через х и у.
Для решения обыкновенного дифференциального уравнения (35 44) Дородницын
вводит новую независимую переменную z и искомую Функцию Z из условий
(35.44)
при т = 0 С = 0, С' = 0;
при х = оо С' = 1.
рость U на бесконечности входит в уравнение для С, но, как мы
(35.45)
(35.46)
616
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Уравнение (35.44) даст нам по (35.46):
2К"+[/Щ[-?Р#-? = 0,
так что по (35.45) получим, сокращая на С":
1
2' + [/ Ы"-5Г] 141=0- <35'47>
Дифференцируя обе части этого равенства по 2 и замечая, что
dt
Л Л Z' г
dz dz_ лГ '±S~ 1 U <•" > >—'—^ -•'-
dz \ ?/.
получим окончательно
d2Z 2 z
<35-48)
Граничные условия для функции Z будут
при z = 0 ~=0, (35.49)
при г = уГ? Z — 0. (35.50)
Решение уравнения (35.48) при граничных условиях (35.49) и (35.51) проще
всего получить, задавая сперва произвольное значение функции Z при Z = 0,
назовём его Z0, удовлетворяя условию (35.49) (задача Коши) и подбирая
затем Z0 так, чтобы выполнялось условие (35.50).
После того, как Z{z) известно, легко найти все интересующие нас величины.
Именно, по (35.46) имеем:
’?" = [/ттт?] ’’о-Л'гм. (35.51)
По (36.45)____________________________________________
^ = (35.52)
Так как, далее, С" = = ~ С7 = С' и при С = 0 z = 0 (ибо
С' (0) = 0), то
С = (l/~—) 2 /------------------------------ . (35.5З)
\V V.+ 1 a J J (i —z2)1-nZ(z)
пограничный слой в сжимаемой жидкости
617
Наконец, так как С' = — 1/
ах г х —
1
г -&z> то
(35.54)
Таким образом, все нужные нам величины параметрически находятся через z.
Чтобы построить профили скоростей и температур, нам остаётся только
научиться переходить от переменных 5 и т к переменным х и у. В нашем
случае обтекания пластинки, когда р (х) — const,, формула (35.17) даёт
прямо
Ро
где, по (35.4)
-*-=(1 - (35.55)
Ро \ * f 1 а* )
Далее, по (35.18), (35.36), (35.39) имеем:
у
v = , »-i dy’ (35'56)
у, -(-1
так что
ri
' = jrl (1-^2)^=2>/Л tff О-*2)*- (35-57)
о о
и мы можем написать:
1 Z
1LV [ i±=*VL ь, (35.58)
2 ' v0 \ p ' * +1 z (^
Найдём ещё сопротивление, испытываемое пластинкой. Напряжение трения на
пластинке т0 будет:
так что по (35.5) и (35.55) имеем:
618
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. !1
Для пластинки ширины Ь и длины L суммарное сопротивление, испытываемое
как верхней, так и нижней сторонами, будет:
{ \ *+1 <1 ’• { V*
1 1 х
Д / 1 г гг \
W=2b
О \ 1 * "* / ?« о
Введём коэффициент сопротивления cw по формуле
W = cwF±PaoU>,
где F — 2bL— площадь обеих поверхностей пластинки. Так как по (35.5)
_ Та ( . х—1 U2\l^i
Рсо Р° Т'со ( *4-1 а2* ) ’
а по (35.38)
= 1 4- М2 (м = -^-
Тоо 2 \ аоо
то мы получим после простых преобразований
+^мф4"(°).
Наконец, введём ещё число Рейнольдса Roo из равенства
R - UL*°>
Н-ос ’
причём будем помнить, что по (35.7) получим окончательно
п-1
2 +^-М2) 2 С" (0).
На рис. 179 нанесены значения С"(0) в функции от величины U2
единственного параметра, от которого зависело решение
•/-— 1
для С. Кривая начинается от значений С" = 0,664, что отвечает числу
Блазиу са (2С" (0) = 1,328).
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
619
На рис. 180, заимствованном из работы Дородницына, по верти-
‘V
кальной оси отложено по горизонтальной оси отложено
- ’ yw
У~
'•'о
, причём кривая 1 даёт профиль скоростей для не-
сжимаемой жидкости (случай Блазиуса, ср. рис. 177), кривая 2 даёт профиль
скоростей при М =• 3,05, когда в качестве абсцисс стоят не
Зависимость vJU от т остаётся
г- v > а _
Ух V у0 У1 • у0
почти неизменной при изменении числа Маха, даже в сравнительно широких
пределах; этого и следовало ожидать, ибо, как мы уже отмечали, вид
уравнения
(35.44) в переменных т близок к виду уравнения Блазиуса в переменных
2 Ух У У0
На рис. 181 по вертикальной оси отложено VjcIU , по горизонтальной у Г~и~
~7— 1/ — . Кривые дают резко различные профили скоростей для
' х У Voo
различных, значений числа Маха.
На рис. 182 по одной оси отложено Т/Т^, по другой снова
_У__
Ух
У
и
это — кривые распределения температур в жидкости.
620
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
