Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
/ = 0). Тогда
/о = ~(Т^Г5/ ~ ')4'35 d< = -0,0841 [(1 - х)-5'35 - 1 ].
Для точки отрыва xs имеем:
— 0,0681 = — 0,0841 [(1 — x_sr5i35— II,
Таблица IX
/ F *J)
—0,0681 0,821 0,007
—0,06 0,772 0,001
—0,05 0,715 —0,003
—0,04 0,658 —0,006
—0,03 0,602 —0,008
—0,02 0,548 —0,009
—0,01 0,495 —0,009
—0,00 0,441 —0,009
0,01 0,388 —0,008
0,02 0,336 —0,007
0,03 0,283 —0,006
0,04 0,232 —0,004
0,05 0,180 —0,002
0,06 0,130 0,001
0,07 0,078 0,003
0,08 0,028 0,006
0,09 —0,023 0,009
0,10 —0,074 0,011
608
ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
(ГЛ. Tt
откуда получим
л^с-0,105
вместо точного значения -=0,120.
Второе приближение (/) дало бы *,= 0,106, и это же значение получилось бы
при интеграции точного уравнения (34.58).
Мы видим, что практически достаточно пользоваться простой формулой
(34.59).
§ 35. Пограничный слой в сжимаемой жидкости. Обтекание пластинки. Метод
Дородницына. Обратимся теперь к пограничному слою в сжимаемой жидкости.
Как и в несжимаемой жидкости, ограничимся рассмотрением стационарного
случая.
В качестве отправных уравнений мы имеем (см. § 31):
В эти уравнения входят кроме величин vx, vy еще р и Т. Величину р мы
должны считать известной. Именно, по уравнению Бернулли
где U (х) — скорость на внешней границе пограничного слоя, р0 — давление
в той точке адиабатического потока, где скорость обращается в нуль, аг —
критическая скорость в адиабатическом потоке.
По закону Клапейрона, р, р и Т связаны соотношением p — RpT. Таким
образом,
где Т0 и р0 — температура и плотность «адиабатически заторможен ного»
потока. Заметим, что
(35.1)
дх г ' ду ~
(35.2)
(35.3)
(35.4)
О
(35.5)
‘*. = УГ^ГГ*КГ0=1/Г2ЕСРГо-^т* v35-6)
Пограничный слой в сжимаемой жидкости
609
Наконец, р следует считать известной функцией от Т; в обычных приложениях
принимают закон
Р = 1*0 (35-7)
где [х0—постоянная, п ==0,5, или п — 0,76, или п= 1.
Таким образом, задача сводится к определению vx, vy и Т из системы
уравнений (35.1), (35.2), (35.3), причём р задано по (35.4), а р и [х
определяются из (35.5), (35.7) соответственно. Краевые условия для
скоростей остаются те же, что и в несжимаемой жидкости:
vx = vy = 0 при у = 0, (35.8)
vx—U при у — оо. (35.9)
Краевые условия, содержащие температуру, будут различными в разных
задачах; так, например, если мы решаем задачу в предположении, что
температура стенки Tw искусственно поддерживается постоянной (вопросы
теплоотдачи), мы должны просто написать:
при у = 0 T=TW. (35.10)
Кроме того,
при у — оо Т—Тсо, (35.11)
где Та есть также заданная величина. В задаче обтекания самолёта или
снаряда естественно считать, что поверхность у = 0 предоставлена сама
себе и что задано лишь a Tw есть величина неизвестная, определяемая
попутно вместе с решением задачи. Здесь
можно принять, что отсутствует теплоотдача обтекаемой поверхности, т. е.
что
при у —0 = 0. (35.12)
Это предположение обычно и делается при решении задач на обтекание в
вязкой сжимаемой жидкости, хотя точнее было бы принять условие «теплового
баланса», приравняв то тепло, которое поверхность получает, к тому теплу,
которое она отдаёт. Так, если k* есть теплопроводность, а Т* —
температура обтекаемого предмета и если принять ещё в расчёт, что
обтекаемая поверхность может излучать как абсолютно чёрное тело и что к
ней подходит поток радиации 5 со стороны жидкости, мы должны написать:
_ k*L. + k*^ = S — оТ\ (35.13)
где
о__0 817 • Ю-10 г/кал с.и2 мин градА
есть постоянная Стефана — Больцмана.
Кроме того,
(Т\ = о=={Т )у =о-
• U) Теоретическая гидромеханика, ч. И
610
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(ГЛ. II
Пренебрегая притоком тепла, идущим от обтекаемой поверхности, и считая,
что S~o74, мы вновь придём к условию (35.12).
Переходя к решению нашей системы дифференциальных уравнений, преобразуем
сперва уравнение (35.3), вводя вместо неизвестной температуры Т величину
6 из соотношения
*=г+Д-' <з5-|4>
Путём элементарных преобразований получим:
/ <Э0 d0\ 1 д / <Э0\ . l\d (\>.vx dvx\ /ос1гч
р\°* дх ~^~vy ду) Р ду Г Р/ ду \ Еср ду )’ (35Л5)
где Р — число Прандтля, определяемое равенством
Р = ^ (35.16)
и не зависящее от Т.
Величина 0 носит название температуры торможения; она равна температуре
там, где скорость жидкости равна нулю.
Решению уравнений (35.1), (35.2), (35.15) посвящено большое количество
работ, из которых наиболее значительными являются исследования Буземана,
Кармана и Цяня и Дородницына. Наибольшими преимуществами обладает метод
Дородницына. Путём остроумной подстановки Дородницын приводит систему
уравнений к виду, сходному с тем, что имеет место для жидкости
несжимаемой, и получает широко обозримые результаты. Подстановка
Дородницына заключается во введении вместо координаты х величины
/
(35.17)
Р О
а вместо координаты у — величины т|:
у
<зб-18>
о
Так как
д _______ д р (х) ^ д drt д р д
дх di р0 1 д-ц дх ’ ду ~ р0 дт\ то уравнение (35.1) принимает теперь вид:
р dvx . drj dvх . р dvx dp , р д (р dvх
Р®.
Р dV*-Ur,7, дГ> dVr-Ur.7J Р dV*— dP ! Р д (? ,,0VX\
