Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
первыми условиями (34.18) и тремя первыми условиями (34.19), тогда
получим:
Л0 = 0, Л, = 2+13ДС, = л3 = -2+-^,
Введём обозначение
52U' (х)
ч
тогда, после простых вычислений, найдём: q — U — v
(34.20)
Остаётся определить §(х) или, что то же, Х(х), для чего воспользуемся
интегральным соотношением Кармана (30.7)
U-±
dx
О 0 0
/ Чйу + 2U'Jq dy - q* dy = v (^)J=0 • (34.21)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
595
Произведя соответствующие вычисления, получим для определения функции
= = (34.22)
следующее дифференциальное уравнение первого порядка:
-§- = -тг-+-^/«- <34'23>
где
„ „ ч 0,8 [— X3 — 47,4X2 + 1670,4Х — 9072] .
SW— Х2 + 5,76Х —213,12 ’
0,8 [4,8X2+ Х3]
213,12 —5,76Х — Х2 '
причём X надо заменить на zU'.
Интегрируя полученное уравнение, для чего надо знать начальное значение
8(0), найдём 8(х) и, следовательно, Х(л:), после чего можем определить
все элементы движения. Затруднение возникает в том случае, если в
начальной точке пограничного слоя мы имеем критическую точку, т. е. если
U (0) = 0. Чтобы правая часть в уравнении (34.23) оставалась конечной,
необходимо, чтобы Х(0) было корнем уравнения g-(X) = 0. Корнями
последнего уравнения являются 7,052; 17,75 и 70. Последний корень не
годится, если ?/'(0) > 0 и нужно принять
^(0) — 7,052, 8(0) = ]/"^-= 2,65^
чтобы между критической точкой и точкой минимума давления, в которой
?/'== 0, и следовательно, Х = 0, не лежала точка Х = 12, в которой правая
часть (34.23) обращается в бесконечность. Условие для отрыва потока
dvx п г,
-^ = 0 при у = 0
приводится к обращению в нуль коэффициента А:, что будет при Х = — 12.
Вычислим ещё толщину вытеснения
3* = Zrfv- V-J аУ = 3 (ж- ш) • (34,24)
о
Только что изложенный метод, применённый к круговому цилиндру, даёт для
рассмотренного Хименцем случая почти то же положение точки отрыва, какое
получилось у Хименца. Однако распределение скоростей получается менее
удовлетворительным, особенно в области за точкой минимума давления.
38*
596
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. It
Можно думать, что только что рассмотренный метод даёт более или менее
приемлемые результаты только в области ускоренного движения, где давление
падает. Дело в том, что профиль скоростей должен удовлетворять при у = 0
бесчисленному множеству условий, первыми из которых являются три условия
(34.18). Принятое же распределение скоростей удовлетворяет только двум
первым из этих условий. Получается сравнительно малое разнообразие
профилей скоростей, что сильно ограничивает область применения метода.
Конечно, метод можно различными способами видоизменять. Можно, например,
взять три условия (34.18) и два первых условия (34.19).
Можно, определяя распределение скоростей полиномом четвёртой степени,
взять два условия (34.18) и два условия (34.19), тогда наряду с X
появится ещё один параметр и можно использовать вместе с интегральным
соотношением Кармана (30.7) интегральное соотношение Лейбеизона (30.18).
Можно также использовать вместо полиномов другие функции и т. д.
В частности, мы должны ожидать гораздо лучших результатов, если возьмём
набор профилей, получающихся при решении какой-либо частной задачи из
теории пограничного слоя. В самом деле, в этом случае автоматически
удовлетворяются три условия (34.18) и, кроме того, все условия (34.19). В
этом состоит, по существу, идея метода, предложенного Хауэрсом !).
Сначала решается некоторая частная задача, относящаяся к тому случаю,
когда скорость внешнего потока определяется линейной функцией
U = b0 — Ьхх, Ь0 > 0, Ь1 > 0.
После введения функции тока W(x, у) первое из уравнений (34.17) примет в
рассматриваемом случае вид:
дч? dW dV дЩ' дЧ' ... , . . а_.
ду дхду дх ду2 ~~ v ду3 ^ 0 (34.25)
Положим теперь
Е = Т’ <34'26>
и будем искать функцию тока в виде ряда
^ (•*. у) — У Vе7 / (?> yi) =
- {Ш - 81Ш + (8^)2 ш (34.27)
так что
= ib°{/*'(7!) ~ ^(7!) + (8^/а(^)— ••?} (34’28)
‘) Howarth, On the solution of the laminar boundary layer equations,
Proc. Roy. Soc. London, Ser. A., 164 (1938), № 919, стр. 547—579.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 59?
Подставляя это разложение в уравнение (34.25) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях ?, получаем ряд равенств, из которых первые три
имеют вид:
/о' + /0/о=0.
2/;/:+3/;/,=-!. г+/0/2' - 4/0/2+5/072=- 4+- зл/;•
Граничные условия
— 0 при у —0, vx—U — b0—Ьгх при у = со приводят к следующим пограничным
условиям для функции fk: f и (0) — 0, /7 0) = 0, (/е — 0, 1, 2, ...),
/о(сс) — 2. /;(со) = 4- /;(о°) = 0 (ft = 2, 3, ...).
Для функции /0(tj) получилось то же самое уравнение и те же граничные
условия, что и для функции С (27)) в § 32; следовательно, эти две функции
совпадают. Для остальных функций fv /2, ... получились линейные
неоднородные уравнения, которые могут быть численно проинтегрированы.
Главная трудность заключается в отыскании таких значений вторых
производных этих функций при т] = 0, чтобы получились требуемые значения
