Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
U. Следовательно, смысл уравнения (37.8) состоит в следующем: вихри
перемещаются в отрицательном направлении оси Ох с постоянной скоростью U,
при этом несколько рассеиваясь. В пределе, при —> 0, процесс диффузии
вихрей исчезнет и, следовательно, вихри будут, сохраняя постоянное
значение по величине и направлению, перемещаться вдоль отрицательной оси
Ох с постоянной скоростью U. В частности, мы будем иметь равенство
Но так как мы имеем дело не с безграничной жидкостью, а с жидкостью, в
которой движется твёрдое тело, то нужно учесть ещё то вихреобразование,
которое происходит на поверхности этого тела, и о котором уже была речь
выше при изложении теории пограничного слоя.
rot v — й,
мы получим уравнение
(37.8)
dQ
0-=- — и, Дй. 1 dt 1
(37.9)
(37.10)
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТИ 635
Во всяком случае, из этих общих рассуждений совершенно ясно, какую
картину распределения вихрей мы должны ожидать для того движения, которое
получается в результате предельного перехода „_>() из движения,
удовлетворяющего уравнениям (37.6).
Остановимся для определённости на случае плоского движения. По
предположению, контур С, двигающийся параллельно оси Ох, есть выпуклый
контур (рис. 186). Проведём крайние прямые KXL{ и K2L2, параллельные оси
Ох и имеющие с контуром С всего по одной общей точке, соответственно Кх и
К2• Эти точки разобьют контур С на две части: переднюю Сх и заднюю С2.
Тогда, как показано на рисунке, полупрямые Ки K2L2 ограничат область D2;
всю же остальную область течения обозначим через D j.
Мы утверждаем теперь, что во всей области Dx вихрь Й для предельного
течения обратится в нуль. В самом деле,
из предыдущего рассуждения совершенно ясно, что те вихри, которые сходят
с поверхности тела, могут попасть только в область D2. Поэтому, если
принять ещё, что на бесконечно далёких расстояниях перед телом жидкость
покоится, то вихри во всей области Dx будут отсутствовать, в области же
D2 эти вихри должны удовлетворять условию (37.10).
Совершенно аналогично в случае пространственного течения мы должны около
поверхности тела 5 описать цилиндр, образующие которого параллельны оси
Ох; пусть этот цилиндр касается поверхности 5 по линии L; последняя
разобьёт поверхность S на две части: переднюю 5! и заднюю S2? Часть S2
поверхности 5 вместе с той частью поверхности цилиндра, которая тянется в
направлении отрицательной оси Ох, являются границами для вихревой области
D2 предельного течения, во всей же остальной области течения, которую мы
обозначим через Dv вихри будут уже отсутствовать.
Возвратимся теперь к плоскому течению. Вихрь Q имеет в этом случае всего
одну составляющую по оси z, которую мы обозначим через С
r foy dvx
дх ду
По условию (37.10) С не зависит от х и является функцией только ОТ у,
притом отличной от нуля только в области D2.
Как мы видели, равенство (37.8) переходит в пределе при р.->-0 в
равенство (37.10), имеющее место как внутри области Dv так и
636 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IJ
внутри области D2. Точно так же первое из равенств (37.6) обра-тится в
пределе при р->0 в равенство
[jU д^~?тай(1==0' которое даст нам соотношения
Й = = ! = Р^- (37.11)
q
Мы видим, что щ и —vy суть гармонические сопряжённые функции, так что
= /(*),
где z — x-\-ty. Вводя обозначение
w(z) = f f(z)dz = f(x, у) + /ф(л;, у), будем, очевидно, иметь
J ' дх ду’ т. е. во всей области течения имеем формулы:
Ч = v» = %' (37Л2>
причём функция ср(х, у) есть решение уравнения Лапласа
Д<Р = ^ + Зу*==0‘
Что касается составляющей vx, то в части Dx области течения,
в которой вихри отсутствуют, мы можем, очевидно, принять,
что
v, = d?, (37.13)
в области же D2 мы имеем из первого уравнения (37.11):
**=^г4-*(У). т- е- = +
Рассмотрим теперь, какому граничному условию должна удовлетворять функция
ср на передней части контура Сх. Для вывода этого условия удобнее
рассматривать относительное движение жидкости относительно тела, которое
получается, если на абсолютное движение наложить прямолинейное
равномерное движение вдоль отрицательной оси Ох со скоростью U, т. е.
движение с составляющими скорости—U, 0; в результате проекции
относительной скорости
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТИ 637
получатся равными vx— U, vy. Заметим теперь, что при малых значениях у,
т. е. при больших числах Рейнольдса, вдоль Сх образуется пограничный
слой, толщина которого при R -> оо стремится к нулю. Внутри этого
пограничного слоя будет происходить постепенный переход касательной к
контуру составляющей относительной скорости от нуля до тех значений,
которые эта составляющая имеет в потенциальном потоке; что же касается
нормальной составляющей относительной скорости, то она при R —> оо
стремится к нулю. Можно поэтому ожидать, что при р->0 мы будем иметь на
части контура Сх следующее граничное условие:
vno= 0 на Сх,
где vn0 есть нормальная составляющая скорости относительного движения, т.
е.
vn0 = (vx — U)cos(ti, *)-f vycos(я, у).
