Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
и от Uja^. Ha рис. 185 по оси абсцисс отложена величина 2 • 104е2М, по
оси ординат — значения для различных М- Мы получим
значение
Tw/Taо,
отвечающее
(35.38), теоретически говоря, лишь для L = 0. При любом конечном L TwjT0
будет значительно ниже. При
Т
L—>oо мы получим для всех М
?* СО
До сих пор мы рассматривали примеры в предположении, что Р—1. Если Рф\,
то приходится обратиться к уравнениям (35.25) и (35.26). В качестве
примера рассмотрим обтекание пластинки, т. е. случай, когда U' = 0. По-
прежнему, вводим функцию If' так, что
(54' дЧг
Vx~ dq ’
Vy ~ di
Уравнение движения примет вид:
dl' ^ <95- ^
dq д? dq di dq2
dq
j (5fJ’
J \ П — 1
К
(35.75)
а уравнение притока энергии запишется в следующем виде:
(5Y j5_ 0 dq d- TQ
(54' <5 О di dq Т0
ур д Р dq
(35.76)
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
625
причём
т е 1 /
/ d4T_J
(35.77)
Уравнение (35.76) не допускает тривиального интеграла, поэтому приходится
искать решение системы (35.75) — (35.77) в виде
Таким образом задача сводится к совместному определению двух функций Ф и
С от т из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 5-го порядка
(35.78), (35.79). В качестве краевых условий мы примем прежде всего три
условия для С:
С(0) = С' (0) = 0, С' (со) = 1.
По определению 0 (35.77) мы имеем далее:
ф (со) = 1.
Остаётся поставить последнее, пятое, краевое условие. Оно, как и при Р =
1 будет иметь различный вид в зависимости от того, какую задачу мы
изучаем.
W = 2V^U^(x)- 4- = ф(т),
1 о
где
Тогда (35.75) примет вид:
2СС" + |г[(ф ~^/2)П V = 0, (35.78)
а (35.76) даст после простых преобразований
Еали
то мы должны написать
Если
Ф'(0) = 0. (Т)у=0— Tw
где Tw — заданная величина, то
Ф(0) = ^-
* О
И т. д,
40 Теоретическая гидромеханика, ч. II
626 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. и
Для решения системы (35.78), (35.79) удобно принять, как мы это уже
делали раньше при Р=1, в качестве независимого переменного не т, а
переменную:
V2i0
Мы не будем останавливаться на этом общем случае подробнее.
Чтобы выяснить влияние числа Прандтля, положим для простоты ге=1. Это
значение близко к действительному значению п для воздуха (геяк0,8). Тогда
Ф выпадает из (35.78) и последнее просто перейдёт в уравнение Блазиуса
2СС"+-с", = о1
решение которого нам уже известно, уравнение же (35.79) даст
Ф"+2РСФ' = (1-Р)^-^(С'2).
Задача сводится к двум квадратурам. Мы получим, принимая в расчёт, что Ф
(оо) = 1:
Ф
(т) = 1 +cf (С ")Р dx -)-
ОО
X X
+ (1-Р)С/(С,/)Р/(('TP-^(V2)dxdx, (35.80)
со 0
где с — произвольная постоянная, подлежащая определению из вто-рого
краевого условия для Ф.
Так как
Ф'(0) = с[С"(0)]р,
где С" (0) = 0,664, то, если (Д^-\ =0, имеем Ф'(0) = 0 и с = 0.
\ оу /у з:0
Мы получим тогда температуру пластинки Tw по формуле:
% = Ф(0) = 1-? а,
где
(1 - Р) /(С")~Р / (С//)“Р -?fV*dxdx. (35.81)
й
о о
Таким образом вместо прежней формулы (35.38) мы получим теперь,
•^=1 — я) м2,
I ОО 4
§36]
СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
627
так как
U2 *~~1 М2 — *------. (35.82)
1 + У-Ч^м2
2i0 2 , , у.—1
Если Р = 1, то а = 0 и мы вернёмся к (35.38). Для воздуха 0.75 (точное
значение: Р= 14/19). Принимая в (35.81) Р = 0,75, получим путём
численного интегрирования аяк0,1321).
Таким образом температуры на пластинке при Р = 0,75 будут несколько ниже,
чем «температуры торможения» в (35.38), отвечающие числу Р = 1.
§ 36. Сжимаемая жидкость. Пограничный слой для произвольного профиля. В
случае криволинейного профиля мы должны обратиться к уравнениям (35.25) и
(35.28). Если ограничиться случаем, когда теплопередача отсутствует, т.
е. когда
Щ=0 = °- следовательно, (f-)y=o=0. (36.1)
то мы можем вновь взять в качестве 0 тривиальный интеграл б = С — const.
Чтобы найти значение этой постоянной С, обратимся к условию на
бесконечности. Теперь U — U (х), но также и Тт будет зависеть от х,
следовательно, Т<х>=Тао(х). Эти величины связаны уравнением Бернулли
[глава I, (8.1)], которое, если учесть (8.5) из главы I, мы можем
написать в виде:
l/'(x) , y-RToo(x)_ -,.RT0
2 у. —1 ~ т.— 1 ’ (оо.д)
где Т0—постоянная (температура в том месте, где скорость равна нулю), R —
газовая постоянная. Но по определению 0 (35.14), мы имеем:
„2 1 / ..2
г/2 = 1 I vl \
— ?Г + 2?сТ ~Ес7\~1Г + ЕсрТ)
'-р р
или, так как
R%
Ес
Р 7. ,2
г-1 / к2 ( т,RT \
~ 7Я \ 2 ^ 7.-1 /’
(36.3)
‘) Подсчёт был произведён А. С. Мониным, который, использовав уравнение
Блазиуса, преобразовал предварительно (35.81) к виду:
вв* 1-2Р J (?")р J (С")2“р^ d-.
40*
628
движение вязкой жидкости
[гл. I!
эта величина должна быть постоянной и равной С. На бесконечности правая
часть (36.3), вследствие (36.2), обратится в Тй, поэтому С = Г0.
Определив 6 полностью, мы можем найти TjT0 в виде:
т _ 1 *— 1 та
-----------i7l*
2y.RT0 Vx-
(36.4)
Вместо уравнения (35.29) мы будем теперь иметь (35.25):
dv
~dl
dv.
1 •
UU' . д х—1 U2 dti
У- 1
(36.5)
где T/T0 определяется по (36.4), a Vy — по-прежнему находится из (35.22)
и удовлетворяет уравнению:
