Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
>• р0 Ж + ' ^ + ~ “ ~dx -1- 70 Ц U ) ? (35'19)
I 35] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 611
С другой стороны, по уравнению Бернулли
1 1 dp (\ U2 V-1;/ Л U2 V-i/7 W Р
д- = р» П-Г+ГТ и -гг - Ро 1 - т+тт ижт«
1^1 \ 1 /
X — 1*/ \ X — 1/
поэтому, деля обе части (35.19) на р —, мы получим, вставляя р
Р О
по (35.5):
* di L х Р дх'Т У J dq
'+lal
7.-1“*
Преобразуем теперь уравнение неразрывности. Вводя функцию тока <]>,
получим:
<56 Р <56 1 d) /ос oi\
FVr — -jr-= -x-< т- е> vx ——сг~. (35.21)
' х ду р0 dq х р0 д-ц '
С другой стороны,
<56 <56 д-q (56 р d-q р <56
Р^У дх d-q дх dZ ро Р^-4' дх р0 dZ ’
так что
_ L^L—J±V +II Isl^L
Ро <5S Т У ^ х р дх ‘
Поэтому, если мы обозначим
Ь_п _ __________
Т У 1 р дх 'У
= К (35.22)
то получим
v =J-^L, у (35.23)
А Ро d-q У Ро <5; v '
Теперь уравнение неразрывности можно записать в виде: а уравнение (35.20)
даст
^2 + ^ = 0, (35.24)
dZ ^ d-q
v дЦл V 1- уп —
Vx dz + У dq _ Го U2 ^ V° dq
%+ 1 а2*
1—1
dU И-о
где IJ' = , a v„ — -6L
d; 0 Ро
39*
612
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Мы видим, что в переменных 5 и vj уравнения для vx и Vy будут отличаться
от уравнений (29.9), имеющих место для жидкости несжимаемой, лишь
наличием множителя Г/Г0 в (35.25).
Преобразуем теперь уравнение притока тепла (35.15). Вводя $ и 7j и
заменяя Еср по (35.6), получим:
р 60 ___
( Р_ дЬ d-q 69 \ .
\Ро 6? '“Ж 61)/ '^Ро dq
1 Р 6
Р Р0 дц
/1 1 \ Р д ( Т р д "«V-1
^ Ро dy) \ р / Ро д-q у 0 Ро дц ? )
Ч. + 1
(35.26)
Деля на р p/pQ и принимая в расчёт (35.22), придём к уравнению
6 0 , ,, _6_ _0__
’Щ Г0 “
^65 Тй+УУс
JL __ Р dq
Т
п-1
dq
6
-и
(-у)
6
dq
т,
л-1
JL(Z
dq \а:
,2\ п
х_
2
•1
Если
Р=1.
уравнение (35.26) сильно упрощается и принимает вид:
_60_
dt
У У dq V° dq
V Г0 j dq J
?x. —)- 1
(35.27)
(35.28)
Мы перейдём к подробному изучению этого случая.
Начнём с конкретной задачи обтекания пластинки, расположенной вдоль оси
Ох. Здесь (7 = const., так что
U' = О,
и уравнение (35.25) примет вид:
v dvх
6? ^ v
У dq
Если обозначить
Ро
0 dq
= V.
(LY~'dJ^ 1 VТо ) dq J •
то уравнения (35.23) примут вид:
dW Vx==~d^'
Вводя (35.31) в (35.29), получим окончательно:
dW di '
dJV 6аЧ~ dq di dq
6T d2W
dq
\TJ 6r,2j;
(35.29)
(35.30)
(35.31)
(35.32)
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
613
качестве краевых условий мы должны написать: при 7] = О W =
: и !).
О, =
d-q
При 7] = оо
dq
Наконец, вследствие (35.14), (35.31) получим:
' <№ \2
О-
к(
2Ес„ \di] / ’
(35.33)
(35.34)
В качестве первого примера решим задачу об обтекании пластинки без
теплоотдачи, т. е. при краевых условиях:
при У]=0 -^- = 0; при т]=оо Т — 7^,
или, на основании (35.34) и условия прилипания:
<Э6
при т] = О при 71 = 00
d-q
= О,
и2
2 Ес„
(35.35)
Заметим теперь, что уравнение (35.28) имеет тривиальное решение
U2
2 Ес„
0 = const. Если выбрать эту постоянную равной Too-f-удовлетворим и
краевым условиям ^-=0^. Используя (35.34),
то мы
по-
лучим теперь:
U2
2 Ес„
1 / \2 ' 2 Еср [dq )•
(35.36)
В частности, на поверхности пластинки, где dW/d-q = 0, будем иметь
температуру
Tw=Tm+^L. (35.37)
Замечательно, что мы, не решая уравнения (35.32), можем при помощи
(35.37) найти температуру пластинки по температуре набегающей жидкости
(Гда) и по числу Маха набегающего потока (?//ает). В самом деле, так как
al = *RTm = у.:Е (ср — cv) =cvE(x— 1) Гет,
') Любопытно отметить, что при п = 1 Т выпадает из уравнения (35.29) и
последнее обращается в точности в уравнение (32.3), если заменить Ч' на
6, i на дг, т] на у. Так как краевые условия будут и здесь и там
одинаковы, то мы можем здесь прямо заимствовать готовое для несжимаемой
жидкости решение Блазиуса. Нужно только, конечно, установить затем связь
между плоскостью (х, у) и плоскостью (?, q).
614
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
мы получим из (35.37):
— 1 и*
Т :
W
1
(35.38)
Если (7/flco<dl, температура Tw будет незначительно превосходить 7^. Но
при скоростях жидкости, превосходящих скорость звука или приближающихся к
таковой, пластинка будет нагреваться сильно. Так, при Ujacо = 0,1 будем
иметь Tw — 1 так что, если — 273,
7^ —273,005; если U/ax=\, Tw=l,2TM (при 7^=273° Tw= 327°,6), если
Ujaoo=\0, Tw = 217’со (при 7'CO = 2730 Т^-—ЫЪЪ°). Конечно, при таких
больших температурах едва ли можно пренебречь излучением пластинки и
краевые условия надо, повидимому, взять в форме (35.13), а не в виде
(35.12). К этому вопросу мы ещё вернёмся, а сейчас обратимся к анализу
уравнения (35.32).
Заметим, что в этой задаче температура на стенке Tw будет совпадать с
температурой 7'0 адиабатически заторможенного потока. В самом деле, по
уравнению Бернулли:
(35-39)
----7
X 1
сопоставляя с этим равенством (35.36) и (35.37), получим, что
Т —Т 1 w — О-
Отметим ещё, что давление на стенке будет, как и везде,
(. U2
Pw = Po\l —
\ -а — 1
плотность же на стенке pw будет Pw = Ро
Уравнение (35.32), если принять в расчёт (35.36) и (35.37), может быть
