Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. и
Для построения их достаточно было воспользоваться формулой, получающейся
сразу же из (35.36):
Д-=1+±=1мф-(?)’],
и уже готовым графиком скоростей. Так решается задача обтекания
пластинки, когда Р — 1 и когда теплоотдача отсутствует.
В качестве второго конкретного примера рассмотрим случай обтекания
пластинки, когда по-лрежнему R = 1. но в качестве краевого условия на
пластинке мы имеем
при у = 0 T=TW,
где Tw — заданное число. Мы будем вновь иметь уравнение (35.32) и должны
решать его при прежних краевых условиях (35.33). Но
теперь отношение Т/Т0 будет выражаться иначе. Краевые условия для 0 будут
теперь иметь вид:
при 7) = 0 Q = TW, |
U* _т ) (35.60)
2Еса — /о’ J
при rt = ОО 0 = Гоо -j-
, 35]
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
621
причём 6 должно удовлетворять по-прежнему уравнению (35.28). Легко
видеть, что это последнее уравнение имеет следующий интеграл:
0 = а4^, (35.61)
где а и р— постоянные. В самом деле, подставляя (35.61) в (35.28). мы
получим:
dvr , n dvr п д v°^
dl;
V в-^-уР дт)
дг, [( Т0)
"-1 о / дт.
что после сокращения на р совпадёт с (35.29).
Постоянные а и р мы подберём так, чтобы удовлетворялись краевые условия,
и получим:
0 = Tw + (To-Tj^.
Теперь вместо (35.36) мы будем иметь:
+ (35.62)
так что уравнение (35.39) надо заменить на уравнение:
•*')
д j[Tw , Tw\ 1 <14- 1 (дЧ?\»]п-'д*9'\
?>(5, т)) — 'О дг, IL'T’o ~*~\ То) U dt] 2 ЕсрТ0 \ дц ) J дт? Г
Вводя, как и прежде, С и т по (35.41) и (35.42), мы получим для
определения С обыкновенное дифференциальное уравнение
2СС"
d йт
Вводим
Лж_1_ И Т0 \
и
V.—1 и2 х + 1
п-1
,/?*—1 и
2 V Х + 1 at
+ 1
X— 1 U2 г/2 х+1 а\
С" [ = 0. (35.63)
(35.64)
(35.65)
л-1
Получим теперь вместо уравнения (35.48) уравнение
7 d*Z _
Z dz2
2 z
[l — (l ^-) (1 — CO — ЛГ*]1
(35.66)
Краевые условия будут иметь прежний вид: (35.49) и (35.50). Все величины:
С", С', С, т, у/Yх, легко найдутся параметрически через z.
622 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
Например, для y/Yх получим:
[ГЛ. II
\Р о
V
V.— 1
•'? + 1
т/
Z(z)
dz.
Наконец, для cw будем иметь:
Vr
причём, по-прежнему
л-1
2
ULfo
(35.67)
(35.68)
(35.69)
где L — длина пластинки. Заметим, что (0) зависит теперь от двух
параметров: от числа Маха
М = — и от отношения Т /Т0, а*
где Т—заданная температура
пластинки,
заданная
в функциях от
и
температура в адиабатически заторможенном потоке. Второе из этих
отношений входит в дифференциальное уравнение для Z. Краевые условия
содержат лишь М.
На рис. 183 изображены распределения скоростей vJU 7,
для значений
: 4 и для разных
чисел М-
На рис. 184 даны распределения Т[ТХ, которые получаются, по
нижеприводимой формуле, после того как скорости станут известны:
Т Тур I IТ0
т т т j
V_________X________
Т . Г 1 Tmj U 2
Поток тепла через единицу площади пластинки будет:
<35-71)
1
М:
. (35.70)
/у = U \ /у
причём находится по (35.59).
пограничный слой в сжимаемой жидкости
623
В качестве третьего примера рассмотрим обтекание пластинки,
предоставленной самой себе, но излучающей. По-прежнему будем считать, что
Р=1. Здесь температура пластинки, так же, как и в первом примере, будет
неизвестна и в качестве краевого условия для температуры мы примем
(35.13), в котором
где L — длина пластинки. Температуру пластинки мы будем считать
постоянной, подлежащей определению '); обозначим её через Tw.
Решение для температуры торможения ищем по-прежнему в виде (35.61) и
записываем его в виде (35.62), так что будет опять
Вновь задача сводится к уравнению (35.65), и опять в него будет входить
неизвестное заранее отношение Tw/T0, и решение С будет зависеть от одного
данного параметра М и от одного неизвестного: TwjT0. Предположим, что нам
удалось найти это решение в общем виде, для любого значения Tw/T0 2).
Тогда условие (35.72) даст нам трансцендентное уравнение для определения
Tw/T0. В самом деле вследствие (35.73) имеем:
:) Решение задачи будет приближённым в том смысле, что мы берём в условии
(35.72) конечную длину L, а пластинка до сих пор считалась бесконечной в
направлении оси х.
2) Технически это удаётся сделать, отыскивая решение в виде рядов по т
около i=0 и в виде асимптотических разложений для больших т.
fe* = 0
б
Т
К.
причём будем считать его удовлетворяющимся в среднем, так что
и
о
L
L
оо
о
f a(T^—T4)dx, (35.72)
Рис. 184.
или, так как число Прандтля равно единице,
624
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
где т0, как и прежде, есть напряжение трения на пластинке; но по (35.69)
имеем:
L 1 — п
/
т?М2
x0dx=
0 У R
2
п-1
О г "'JO ч О
поэтому (35.72) примет после простых преобразований вид:
п — 1
Ср?М У Ко
1 + п 2
С" (0 ) = оТ3а
(35.74)
в этом равенстве ?"(0) есть функция от Uja^ и от TJTQ. Таким
образом, из (35.74) мы можем найти TW/TQ в функциях от безразмерного
параметра
а Г3
гиго -18 wtf 1 и I 12 10 8 В 4
г
о
L
М-10 М-8 М-8 М-4 М--2
^ТГ
с ?М
/7 “СО
V Rc
V 0? ЦЗ 0,4 0,8 0,6 0,7 Ofi 0,9
-*-г-Уме2
Рис. 185.
