Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 154

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 183 >> Следующая

всех таких схемах имеется известная доля произвола. Чтобы избавиться от
этого произвола, следовало бы, рассматривая движение какого-либо тела в
жидкости, решить такую задачу: проинтегрировать точные уравнения
гидромеханики вязкой жидкости, а затем в полученных интегралах перейти к
пределу, устремив р к нулю. Ничто не заставляет нас ожидать, что при этом
получится как раз движение тела в идеальной жидкости, так как мы
многократно уже указывали на то, что различный характер движений в вязкой
и идеальной жидкостях определяется не только и не столько различием вида
уравнений, сколько различием граничных условий. Задача в таком виде была
поставлена Осееном, который в своих исследованиях сделал и первые шаги к
её разрешению, совершив предельный переход для упрощённой системы
уравнений движения вязкой жидкости.
Не имея возможности, за недостатком места, изложить оригинальные методы
Осеена '), мы дадим эвристический вывод тех уравнений, к которым он
приходит; основные идеи этого вывода принадлежат Бюргерсу2).
Мы будем исходить из уравнений движения вязкой жидкости (5.4) в форме
Ламба, причём сразу же предположим, что внешние силы отсутствуют, так что
эти уравнения принимают вид
Предположим теперь, что в вязкой безграничной жидкости движется с
постоянной по величине и направлению скоростью U твёрдое тело,
ограниченное поверхностью 6'. Для определённости примем, что
') О see и С, W., Hydrodynamik, Leipzig, 1927. См. также изложение теории
Осеена в книге Н. V i 11 a t, Le?ons sur l’hydrodynamique, Paris, 1929.
2) Burgers J. М., On Oseen’s theory for the approximate determination of
the flow of a fluid with very small friction along a body, Proced. of the
Kon. Akad, von Wetenschappen Amsterdam, 31 (1928), № 4 и 5.
где
(37.2)
g 37] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТИ 633
5 есть выпуклая поверхность. Свяжем с телом систему осей х, у, г, причём
ось Ох выберем так, чтобы тело двигалось как раз в направлении
положительной оси Ох. Введём ещё на время систему осей х, у, z,
неподвижных в пространстве и совпадающих в момент времени t — Ос системой
осей х, у, z. Ясно, что между координатами х, у, z и х, у, z имеют место
зависимости
x = x~Ut, у = у, 2 = 2. (37.3)
Будем под v понимать вектор абсолютной скорости частиц жидкости, т. е.
вектор скорости частиц жидкости относительно системы осей х, у, z. С
другой стороны, мы будем считать движение стационарным относительно
системы осей х, у, z. Но тогда ясно, что вектор v есть функция только от
х, у, z, а так как для всякой функции / (х, у, z) = f(x — Ut, у, z) =
fl(x, у, z, t), мы имеэм тождество
Ж = ~и-Ш’ (37'4>
T) равенство (37.1) в системе осей х, у, Z принимает вид:
— U tJXrot© =---------------^ grad q + ч Дг». (37.5)
Наибольшие трудности интегрирования этого уравнения связаны с
присутствием квадратичного члена 'oXrot'D. Мы допустим, что можно этим
членом пренебречь. Тогда мы получаем систему уравнений:
г)<п
р. Дч? —)— рТХ ^— grad q ~ 0; div v = 0, (37.6)
причём q имеет значение (37.2). Так как на поверхности тела S абсолютная
скорость частиц жидкости v должна совпадать со скоростью точек самой
поверхности тела, то мы легко можем написать граничные условия в
следующем виде:
vx = U, vy = 0, vz = 0 на S. (37.7)
Система уравнений (37.6) и послужила предметом исследований Осеена. Как
мы видели, эта система получается из точных уравнений гидромеханики
вязкой жидкости, если в последних пренебречь квадратичным членом T>Xrot®,
содержащим вихрь скорости, иными словами, если пренебречь вихрями. Если
бы в результате перехода к пределу р—*0 в интегралах точных уравнений
движения вязкой жидкости мы получили теорию идеальной жидкости, а в
частности отсутствие вихрей, то при очень малых значениях р. вихри были
бы очень малы, т. е. наше допущение о пренебрежимости вихрями было бы
оправдано, и мы, исходя из решений уравнений (37.6), должны
634
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
были бы в пределе при р->0 тоже получить теорию идеальной жидкости. Как
показал Осеен, это не имеет места, а следовательно, теория исчезающей
вязкости должна отличаться от теории идеальной жидкости.
Установим теперь некоторые общие свойства движений, определяемых системой
уравнений (37.6). Беря вихрь от обеих частей первого из уравнений этой
системы и вводя обычное обозначение
заменяющее для рассматриваемого случая обобщённое уравнение Гельмгольца
(8.2).
Чтобы истолковать это уравнение, вернёмся к координатам х, у, z
относительно неподвижных в пространстве осей координат. Применяя
тождество (37.4), можем переписать предыдущее уравнение в виде
Если в этом уравнении положить р. — 0, то получится равенство
из которого следует, что в каждой точке пространства вихрь сохраняет
неизменное значение. Полное же уравнение (37.9) выражает, как мы знаем,
процесс диффузии вихрей. Но равенства (37.3) показывают нам, что
неизменной точке пространства соответствует в системе осей х, у, z точка,
перемещающаяся в отрицательном направлении оси Ох с постоянной скоростью
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed