Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
можно определить, используя интегральное соотношение Кармана в форме
(30.17).
Вспоминая опять соотношения (34.32), получаем из (30.17) для определения
функции 1{х) следующее уравнение:
Так как функцию yjy' мы знаем, а функция U(х) предполагается заданной, то
из этого уравнения мы сможем найти k в функции х, если только известно
начальное значение Тот набор профилей, который мы получили выше,
относится только к случаю возрастания Давления, поэтому пограничный слой
до того места, откуда мы начинаем применять только что рассмотренный
метод, надо исследовать каким-либо другим способом, который и даст нам
профиль скорости в начальной точке; определив для этого профиля о**, мы
найдём у_(к), а тем самым и Е, которое и нужно принять за начальное
значение. В част-ноыги, если мы берём за начальную точку точку минимума
давления, в которой U' = 0, то у обращается в нуль, и следовательно,
начальным значением ? будет тоже 0, Но тогда уравнение (34.40) будет
иметь в начальной точке особую точку. Чтобы найти направление
UV —U'F,
или
у' У + 1Г(2* + 0 + F) — °-
Воспользовавшись (34.35), можем также написать:
(34.40)
602
движение вязкой жидкости
[ГЛ. и
интегральной кривой в этой точке, достаточно заметить, что по правилу
Лопиталя
=тк(,й1- <*•<'>
и следовательно,
(Й=-48Г = - — W* (34.42)
\ax/Q va2 0 «v 0 0
Точно так же из уравнения (34.39) получим, что в этом случае
1 / Ul f dx\ ay 0,332у
Ч = т1/ Л-у) у - ж • (34.43)
2 у ч \ di /о 2о0 о0
Дальнейшее интегрирование уравнения (34.40) может быть произведено либо
численным путём, либо методом графического интегрирования. То значение
координаты х, при котором достигается значение S =0,120, определяет место
отрыва пограничного слоя.
Шубауер!) измерил распределение давления па эллиптическом цилиндре,
обтекаемом в направлении большой осн, превосходящей малую ось в 2,96
раза. Беря за единицу длины величину малой полуоси, он нашёл, что минимум
давления находится на расстоянии х 1,30 от передней критической точки, а
срыв происходит при х--= 1,99.
Хауэре, определив графически U' и U" по экспериментальным значениям U и
применив до точки минимума давления метод Поль-гаузена, а после неё свой
метод, получил отрыв в точке х— 1,925, в то время как по способу
Польгаузена отрыва не получается вовсе.
Выше было уже отмечено, что профили скоростей, употребляемые в только что
рассмотренном способе, лучше соответствуют граничным условиям, чем
профили способа Польгаузена, и в этом состоит преимущество метода
Хауэрса. Но зато в последнем методе мы не имеем для профилей таких
простых аналитических выражений, как в способе Польгаузена. Очевидно, что
метод Хауэрса можно сделать применимым ко всему пограничному слою; для
этого надо решить сначала задачу о пограничном слое для случая, когда
скорость внешнего потока U (х) есть какая-либо функция, сначала
возрастающая от нуля, а затем убывающая.
Мы уже упоминали, что удача Хауэрса состоит в том, что он берёт набор
профилей, получающихся при решении частной задачи
*) Schubauer, NACA, Rep. № 527, 1935.
| 34] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 603
теории пограничного слоя, именно — того случая, когда скорость U есть
линейная функция от х. Однако, к сожалению, решение для
такого U получается само в виде рядов, и расчёт оказывается, как мы
видели, довольно громоздким. Если бы удалось подобрать такое U, зля
которого задача о пограничном слое допускала бы замкнутое
решение (подобно случаю Блазиуса), мы могли бы надеяться, применяя идею
Хауэрса, притти к менее громоздким выкладкам. Случай Блазиуса не
подходит, ибо мы здесь не имеем ни одного параметра типа by которым
мы смогли бы распорядиться. Как мы уже знаем,
ещё один случай точного решения в виде одночлена получается по
Фалькнеру (Falkner) и Сильвии Скан (Sylvia Skan)1), если взять
U — схт. (34.44)
Уравнение для пограничного слоя примет здесь вид:
<?ф дЦ # ^ _OTC2j.2m-i I .. ^ (34 4я\
ду дхду дх ду* ~тС х + ' ду* ' (34.40)
Где 6 — ф(х, у) — функция тока. Полагая
Ф(Е)’ ?==У—ъх— ’ (34'46)
мы получим:
=-|±- = Ф'а)уГ^±^^1 = схтФ' (?). (34.47)
Перейдём от переменных х, у к переменным х — х и 5, тогда
дЛ дг^ ° ^ — D ^У’ ^ D t) __
ду дх ду ду ду2 D (х, у) D (х, i) D (х, у)
~т-1 Л/ 2C'/Xm + l .,2 — + 1 -1/ 2cVX"" ? , i , .
mcxm 1 у —д-р Ф' — cxmФ —У -^ Ф ( X
2 c'ix'n 1
m +1 w -v g r m _j_ i
X j/~= C2^2«-l | тФ'2 _ rH+± фф" j.. С другой стороны,
«+Л Ф- (5)i
и мы получим, после приведения подобных членов и сокращений, Уравнение
ф'" -f фф" — р (ф'2 _ 1), (34.48)
где
8 — -~~y . (34.49)
r т + 1
!) См. сноску *) нз стр. 584.
604
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Таким образом, как и в случае Блазиуса, задача сводится к определению
одной функции из обыкновенного дифференциального уравнения. Случай
Блазиуса мы вновь получим, полагая т~ 0, т. е. б = 0 ').
Краевые условия задачи: vx — vy — 0 при у — 0, vK — U при у = со дадут
сразу же:
ф (0) = Ф' (0) = 0, Ф'(оо)== 1. (34.50)
Решение уравнения (34.48) при краевых условиях (34.50) будет зависеть от
