Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
dvг dVv л
(36'6)
Следуя Дородницыну, дадим приближённый метод решения задачи, основанный
на идее работы Кочина и Лойцянского (см. § 34). Построим сперва
интегральное соотношение, аналогичное соотношению Прандтля (30.18). Для
этого уравнение (36.5) запишем, вследствие (36.6), в виде
dvi
dvxyy
U U
di)
—1 U* *.+ 1 а2
.+
1-
dn
TV-'dj^ drj
(36.7)
и уравнение (36.6) (умножив его обе части на U) приведём к виду: dUvr
dVyU dU
dt
i”'
дц
Vr
dt
(36.8)
Вычтем из уравнения (36.8) уравнение (36.7) и проинтегрируем обе части по
т] от 0 до оо. Получим:
d
dt
f vx(U — vx)d'q о
со
+
VJU-vx) =
и
1.
х — 1 V*
x-f 1 д2
Г 1 drl
ar
dvx
dn
(36.9)
По аналогии со введёнными в несжимаемой жидкости толщиной потери импульса
и толщиной вытеснения введём величины:
v.\
Ъ)*Ч
(36.10)
СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
629
Привлекая (36.4), мы можем написать:
?1 К
U
U2
:VX-U
X— 1 2
—ГГ а х + 1 *
U
X— 1 U2 =
•/. +1 а2
1 *
X— 1 _?Я х+1 а2
1 __ Д*
1-
X— 1 Ц2
х+1 а2
1-
Принимая /<+Л \Ф] j
ещё во внимание, что (Иу)у=0 >0, мы получим из (36.9):
(t/28**) +
UW
U2
2/"о
1 —
U2
2(’о
U2 И*
?UU'b**:
х—1
х+1 а2
*
= 0 по (35.22) и /dv
(дУЛ
\ дг1 Л)=о
или после деления на U2:
db**
di
U'
U
2-Ь
ML
2 i0
1-
U2 2 i0
1-
U2 2L J
ур /Ал
\*i /ч=0*
(36.11)
Эго уравнение является обобщением соотношения Прандтля (30.18). При
(У2/2г0->0 и, заменяя т] на у, ? на х, мы вернёмся к несжимаемой жидкости
и (36.11) перейдёт в точности в (30.18).
Вместе с Дородницыным будем искать приближённое решение, предполагая, что
безразмерная скорость vJU (х) есть функция от tj/S** и некоторого
параметра р, зависящего от L Именно, положим, что
. = U(x)р).
(36.12)
Здесь Ф' означает дифференцирование по первому аргументу, а в качестве
функции Ф от двух аргументов мы примем вновь как раз ту функцию Хартри,
которую Кочин и Лойцянский использовали при построении приближённого
решения для несжимаемой жидкости [см. стр. 604, формулу (34.51) и др.];
под функцией Дф) по-прежнему разумеем
Вф) = / Ф-(1 p)Il — Фе (5, p)Jrf;,
(36.13)
630
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. It
а 8** есть функция, входящая в уравнение (36.11). Параметр р и функцию
8** подберём так, чтобы выполнялось соотношение (36.11) и чтобы, кроме
того (на обтекаемом профиле т] —0) выполнено было дифференциальное
уравнение (36.7). Последнее условие, вследствие (36.4), даст
(36.14)
UU'
U2
2г0
\ W )п=0
т. е. по (36.12)
U'
1 —
U2
2 in
?v0^l®w(0, Р),
(36.15)
где Ф"’ означает третью производную от Ф по первому аргументу. Обозначим,
как и в § 34 (34.56) *),
— В2Ф"'(0, р) = /ф). Таким образом 8**, р и ? связаны соотношением
h и2\
Ч0 I 1 - угт- )
8**2 = —
(36.16)
(36.17)
где /—известная функция от р. Далее,
СО ОО
8* = /(l -#)*!=??/ [1-Ф'ф, р )]dk = ^-A, (36.18)
о о
где под А разумеется, как и в § 34, известная функция одного р
А = J [1 — Ф'(1, р)]Л.
Наконец,
UB
(36.19)
Теперь уравнение (36.11) запишется в виде:
db** , U’
dz т U
2 +
U2
2/0
1
l_i?l В и2
2г0 2*0
8** = -^-Ф"(0. Р)
') Так как Ф удовлетворяет уравнению (34.48) и так как Ф (0, В) = = Ф'
(0, Р) = 0, то Ф"’ (0, р) =— р и (36.16) совпадает с (34.56).
СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
631
или после умножения на 8**, по (36.19)
(l
CL
1Р\
2/о/
U'
/ф) + 2-^(2-|1 + Ау==^.ф"(0. p).
После простых преобразований получим:
df f
dl 1
tr
U'
2 UU'
U'
U 1 _
2f0
или, если вспомнить обозначение (34.57)]:
2 UU'
df
dl
U"
W
/ +
{/'
*(?-?) "!?-?)
77гг^(/)- (36.20)
? oo.
Уравнение (36.20) перейдёт в (34.58), если i0-
Используем вновь тот факт, что F(f)^a — bf (см. таблицу на стр. 607), где
а = 0,45, А = 5,35. Мы получим тогда
dl dl '
U"
2 UU'
bU'
U'
<•(•-?) *(•-?)
/
aU'
U
(•-?)
Отсюда путём простых квадратур (полагая попутно /(0) — 0) получим:
,. dU (.
f = a-dTV
Наконец, так как
о о
то мы можем избавиться от I и написать:
т т b — 1 t*
и л.
Ъ 3*-2 зс-1
2х —1 &
?/2\*-1 2
Ub~ldx. (36.21)
Эта формула была получена Лойцянским и Дородницыным1). Уравнение это
позволит, зная U = U (х), найти для всякого л: значение f (х). Так как
таблица на стр. 607 даёт нам р и В в функциях от /, то мы будем знать
теперь р и S в функциях от х. Формула
(36.17) даст нам 8**. Таким образом может быть построен весь
') Лойцянский Л. Г. и Дородницын А. А., К теории перехода ламинарного
слоя в турбулентный, ПММ, т. IX, вып. 4, 1945.
632
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
!ГЛ. п
профиль скоростей. Точка отрыва на профиле получится для того значения х,
при котором /(х), вычисленное по (36.21), даст значение / = — 0,0681.
§ 37. Основные уравнения теории исчезающей вязкости.
Теория пограничного слоя показала нам, что при движении твёрдого тела в
вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса возможен при известных
условиях отрыв от тела вихрей. Мы уже указывали на большое значение этого
обстоятельства для обоснования тех схем движения тела в идеальной
жидкости, в которых существенное значение имеет наличие вихрей или
вихревых слоёв (как, например, схема вихревых дорожек Кармана). Однако во
