Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
\ и от параметра Р; будем его записывать так:
Ф = Ф(?, р). (34.51)
Хартри2) дал численное решение уравнения (34.48) при различных (3 и при
краевых условиях (34.50).
Кочин и Лойцянский3) использовали функцию Хартри для построения
приближённого решения задачи о пограничном слое совершенно так же, как
Хауэре использовал решение, отвечающее U = b0 — Ьгх. Именно, заметив
сперва, что у Хартри U' = tncxm~'[ и что поэтому
лГ\т+\)схт~' ^/~ТГ~
i==yV —2v— =уу W’
попробуем искать приближённые решения, отвечающие любой функции U(х) в
виде
vx(x, y) = U (x)<&i [у}/~^-; р], (34.52)
где ФЕ (I; Р) есть производная по аргументу % от функции Ф(?, Р) из
(34.51). Однако будем теперь считать, что р будет не постоянной
величиной, а функцией от х, причём функцию эту подберём так, чтобы при
помощи (34.52) можно было бы удовлетворить интегральному соотношению
Кармана в форме Прандтля (30.16). В соотношение Прандтля входят три
величины §*, S*4, т0: Подсчитаем их. Прежде всего имеем
-..х; сх)
v = f(l-#)dy = f = (1_ф {)di
о о о
Определённый интеграл, входящий справа, будет зависеть лишь от второго
аргумента, входящего в Ф:, т. е. от р. Обозначим его бук-
*) Блазиус не вводит двойки под корень в подстановку для 'С и ?; отсюда
разница в множителе при Ф'" в (34.48) и при tf" в (32.7).
2) Наг tree D. R., Ргос. Cambridge Phil. Soc., 33 (1937).
3) Кочин Н. Е. и Лойцянский Л. Г., Об одном приближённом
методе расчёта ламинарного пограничного слоя, ДАН СССР, 35 (1942), № 9.
§ 34] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 605
вой А ф). Вид функции А ф) будет, конечно, определяться полностью из
решения Хартри. Ниже мы приводим табличные значения этой функции. Итак,
b* = VТГ (34"53)
где
о
причём Фс взято из решения Хартри.
Далее
?о ОО СО
г = / %(l ~lif)dy = j ®;(l-®Qrfy = |/r ? / Ф((1-Ф0л.
0 0 о
т. е.
= ^-5ф), (34.54)
где
Вф) = / Фе(1—
причём Вф) так же, как и Лф), находится из решения Хартри и может быть
табулировано (см. ниже).
Наконец,
1 ' = -(ж),-„ = ,1/(х)ф“<0; Р)У|Г = Vфк°' Р)’
(34.55)
где Фе;(0, р) есть вторая производная от функции Хартри по С вычисленная
при ? = 0; это — функция от р и таблица для неё приведена ниже.
Теперь соотношение Прандтля примет вид:
‘L
~dx
WwB^] + wVтг^В + А) = }/~^Фе:(0; Р).
Сократив на Vv, продифференцировав первый член и умножив всё
на Vu', получим:
d
dx
Кр в Ф) - gl у (3 Вф) + ^ (2 у рв +V Р Л):- ^ ~ Фи (0; р)
606
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Умножим обе части нашего равенства на 2 Ур В и обозначим
Р52 — /. (34.56)
—4/ — 2$АВ + 2ВФ;! (0; 0) = F. (34.57)
Мы получим тогда
Tx=zTT'fArTJF' (34.58)
и, так как / и F зависят (и притом известным образом) лишь от р,
мы получим дифференциальное уравнение для определения р в функциях от л:.
В таблице VIII приведены значения функций Ф^(0, Р), А, В, f и F. Для
практических расчётов удобно выразить F через /.
Таблица VIII
р ач? (0) А(Щ ВФ) / F
—0,1988 0,0000 2,359 0,585 —0,0681 0,821
—0,19 0,086 2,007 0,577 —0,0632 0,792
—0,18 0,1285 1,871 0,568 —0,0580 0,760
—0,16 0,1905 1,708 0,552 —0,0488 0,708
—0,14 0,2395 1,597 0,539 —0,0406 0,661
—0,10 0,3191 1,444 0,515 —0,0266 0,584
0,00 0,4696 1,217 0,470 0,0000 0,441
0,10 0,5870 1,080 0,435 0,0190 0,341
0,20 0,6869 0,984 0,408 0,0333 0^66
0,30 0,7748 0,911 0,386 0,0446 0,208
0,40 0,8542 0,853 0,367 0,0538 0,161
0,50 0,9277 0,804 0,350 0,0613 0,123
0,60 0,996 0,764 0,336 0,0677 0,090
0,80 1,120 0,699 0,312 0,0778 0,039
1,00 1,2326 0,648 0,292 0,0854 0,000
1,20 1,336 0,607 0,276 0,0914 —0,030
1,60 1,521 0,544 0,250 0,1002 —0,075
2,00 1,687 0,498 0,231 0,1069 —0,107
Зависимость F от / оказывается близкой к линейной. Мы её представим
поэтому в виде
F = a-bf + B{f), так что уравнение (34.58) примет вид: df U" II'
Уравнение это будем решать методом последовательных приближений. В первом
приближении можно отбросить е(/) и проинтегрировать наше уравнение
относительно /, как линейное. Мы получим:
<34-59)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 607
где с — произвольная постоянная интегрирования, определённая из условия,
что / принимает заданное значение при х = 0. Так, например, если при х —
0 пограничный слой только начинает развиваться, следует положить с = 0. В
качестве второго приближения можно принять:
( * }
I О j
Выберем
а = 0,45, b — 5,35;
тогда, как показывает таблица IX, в нужном нам интервале значений / будет
иметь место неравенство
|е(/)| < 0,03а,
а это показывает, что в большинстве случаев практически достаточно
пользоваться формулой (34.59).
Как только найдено / в функции от х, мы сейчас же, по предыдущей таблице
VIII, определим (3 в функции от х и по той же таблице Фу(0; Р), Л(Р), Вф)
и, значит, по (34.55), (34.54), (34.53)— напряжение трения, толщину
вытеснения и толщину потери импульса. В частности, можем найти и точку
отрыва — точку, в которой т0=фсс(0, Р) = 0, т. е. /=
= — 0,0681 (см. таблицу VIII).
В качестве примера рассмотрим случай Хауэрса. Пусть U = U0(l-x),
и потребуем, чтобы пограничный слой начинался при х = 0 (т. е. при х = 0,
