Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
6ФЖ 5ФЖ—ФЖ' — Ж'— Щ + 3ФзФз + 6aia5+Заз-.
Граничные условия
vx = vy = 0 при у = 0, vx = U при у = со дают для (]>!, ф3 и ф5 следующие
граничные значения:
Ф! (0) = <К (0) = 0, ф( (оо) == ах\ <|>3(0) = ф'(0) = 0,
ф'(оо) = с3; ф5(0) = ф'(0) = 0. Ф5 (со) = ао-
Введём теперь безразмерные величины, полагая
ф! = Va^fx (7i), фз = 4азу/"~-/3(т;),
g'sC7!)'
к О)
(34.7)
34.8)
(34.9)
l\ L а1а5
тогда уравнения (34.6) примут вид:
4/!/з — З/Жз — А/з = 1 + /г-
6/;а'-5/;а5-/л"=4 + аГ
а граничные условия (34.7) обратятся в
Л (0) = /; (0) = 0; /;(оо) = 1; /3(0)=/'(0) = 0; ]
1 1 ^
/з(с°)=4-; «rs(0) = gr5(°) = 0; ^(°°) = -б; } (34.Ю)
к (°) — ^7°) = К(оо) — 0. )
Задавая /'(0), можно численно проинтегрировать первое из уравнений
(34.9); путём проб можно определить то значение при
котором окажется выполненным граничное условие /|(сю)— 1,
592
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Совершенно так же можно поступить с остальными уравнениями (34.9). В
результате получается следующая таблица значений /J (vj), /3(7;),
S'5(rl) 11
Таблица V
т f\ (п) /3(4) 4 I Л5 !\ i V /з(Д *5<V , Vv
0 0,0000 0,000 0,00 0,00 1,6 0,9324 0,298 0,21 —0,05
0,2 0,2266 0,125 0,11 0,01 1,8 0,9569 0,288 0,20 —0,05
0,4 0,4144 0,213 0,18 0,01 2,0 0,9732 0,278 0,19 —0,04
0,6 0,5662 0,269 0,22 0,00 2,2 0,9841 0,269 0,18 —0,03
0,8 0,6859 0,300 0,24 —0,02 2,4 0,9905 0,263 0,18 —0,03
1,0 0,7778 0,313 0,24 —0,03 2,6 0,9946 0,258 0,18 —0,02
1,2 0,8467 0,313 0,24 —0,05 2,8 0,9971 0,256 0,17 0,00
1,4 0,8968 0,307 0,23 —0,05 3,0 0,9985 0,253 0,17 0,00
Совершенно аналогично определяются следующие члены разложения (34.5).
Тот же самый метод может быть применён и к более общему случаю, когда
распределение скорости на внешней границе пограничного слоя даётся вместо
(34.2) формулой
U = агх-{- a2x2-f- а3л:3-)- ... (34.11)
Конечно, в этом случае вместо (34.5) надо полагать:
ЧГ = (у) + х2ф2(у) + (у)-Ь ... (34.12)
Возвращаемся к рассматриваемому нами случаю. Распределение
скоростей в пограничном слое выражается, если мы ограничимся
только тремя членами в (34.5), формулой
V* = ТГ = *^ + ^ (У) + (У) =
= aixf[ О) + 4а3*3/з (tj) + 6a5x5g's (ч) + 6 Х^К (г,). (34.13) Условие
для отрыва слоя
(ж)у.„=° <34Л4)
приводит к соотношению
а\
axxf [ (0) + 4а3*з/з" (0) + Ъа5х% (0) + 6 (0) = 0,
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
593
но /^(0)= 1,23264, /" (0) = 0,7246, ??; (0) = 0,637, й"(0) =
_-rj=0,12, следовательно, для определения места отрыва получается
биквадратное уравнение
9
1,23264 + 2,8984 а3х- -+~(3,S22 a--f 0,72 л:4 — 0. (34.15)
Применим этот результат к круговому цилиндру.
Хименц *) нашёл экспериментальным путём распределение давления вдоль
контура цилиндра диаметром 9,75 см при обтекании его водяным потоком,
имеющим скорость 19,2 см/сек. Исходя из этого распределения давления,
Хименц получил следующее распределение скорости:
U = 7,151 х -— 0,04497 — 0,00033 х^, (34.16)
где U даётся в см/сек, х есть длина дуги цилиндра от точки разветвления,
измеренная в сантиметрах. Применяя уравнение (34.15), находим для точки
отрыва дг0 = 6,97 см, что даёт в угловой мере 0 = 82°, в согласии со
значением, получающимся из опыта.
Другой приближённый метод, который мы изложим, основан на применении
интегрального соотношения Кармана и его обобщений и был уже использован в
§ 32 при рассмотрении пограничного слоя вдоль плоской пластинки. Сущность
метода в применении к этому последнему случаю заключалась в том, что
распределение скорости внутри пограничного слоя задавалось формулой
V* — Uf{bjx))'
и затем из интегрального соотношения Кармана получалось уравнение Для
определения функции §(л:). Таким образом, в этом примере профили скорости
в различных точках контура предполагались подобными между собой, и
менялся только масштаб.
В общем случае такое предположение недостаточно, и необходимо
рассматривать более общий класс профилей.
Из основных уравнений теории пограничного слоя
dv,
dv,
1 др
d2vу
ду
дх
dvx
дх
dvy
ду
ду2 = 0
,, dU . d2vx : U -j—-f-V- Л
dx
ду2
(34.17)
. ') Hiemenz К., Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Fliis-
b'gkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder, Dinglers
Polvtechnisches Journal. 328, 1911
33 Теоретическая гидромеханика, ч. И
594
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
и из того, что на контуре vx = v =0, без труда получим, что на контуре
имеют место соотношения:
d2vx U dU . dvy „
“ ' U.
ду2 ч dx ’ ду
продифференцировав же первое из уравнений (34.17) по у, найдём, что на
контуре будет также
ду3
Итак, должны выполняться условия
®г=о. = i$r = 0 ПРИ >,==0- <34-18)
Обозначая толщину пограничного слоя через о, условия плавного перехода
скорости пограничного слоя в скорость внешнего потенциального течения
можно записать в виде ряда равенств:
vx = U, -§^ = 0. ^f = 0 при у = 8. (34.19)
Положив
^Т’
примем, следуя Польгаузену, что vx представляется полиномом четвёртой
степени от tj:
Vx = U (Л0 + A jT] -f- Л27)2 -f- Лд7)3 -f- Л47}4).
Для определения пяти коэффициентов этого полинома воспользуемся двумя
