Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
идеальной жидкости, рассматривались такие теории, в которых необходимым
элементом является наличие вихрей или, вообще, циркуляций, отличных от
нуля,
Ф (•*> У) = 6avx'1' th (аух_г/>). Для проекций скорости легко находим
выражения
6ча2х~1'2
(33.39)
сЪ2(аух 2/з) ’
x~^th(ayx-2^) . (33.40)
параллельную оси Оу и отстоящую от неё на расстоянии х, очевидно, равно
СО
СО
— СО
0
-JT
СО
0
НО
С(оо)= 6va,
Рис. 178.
и, следовательно,
Q — \ 2рчах'1к (33.41)
lim vy — 2vax_2/3;
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 589
Как, например, теория вихревых цепочек Кармана или теория обтекания
контура плоским потенциальным циркуляционным потоком несжимаемой
жидкости. В рамках самих этих теорий наличие таких циркуляций, отличных
от нуля, не может быть обосновано, ибо, как мы знаем, в рассматриваемых
условиях, т. е. когда жидкость идеальна и несжимаема, а силы
консервативны, вихреобразование невозможно.
Таким образом, с рассматриваемой точки зрения, значение теории
пограничного слоя состоит в том, что она объясняет появление вихрей в
жидкости и тем делает более обоснованными некоторые схемы движений
идеальной жидкости, вроде вышеупомянутых.
Нетрудно теперь установить условия для отрыва слоя. Обозначим через х0
координату точки отрыва; рассматривая кривые распределения скорости (рис.
172, стр. 543) в различных точках обтекаемого контура, мы видим, что
отрыв слоя происходит в той точке Мг, в которой происходит смена прямого
течения на возвратное. Но на самом контуре vx — 0, вблизи же контура vx >
0 для х < х0 и vx < О для х > х0 (предполагаем, что основное течение
происходит в направлении возрастающих значений х). Поэтому
№1>°для х<х° и (iH=0<o для х>х°-
Ясно, что место отрыва слоя должно определяться формулой:
=0.
V дУ /у=о
Установим ещё одно условие, которое должно выполняться для того, чтобы
отрыв слоя был возможен. В самом деле, в той точке контура УИ3, в которой
происходит отрыв, во всяком случае должно быть
|^>0, (34.1)
ибо профиль скоростей обращён в этой точке своей вогнутостью в
направлении течения. Во внешней части пограничного слоя знак кривизны
меняется, и следовательно, в какой-то из точек профиля скоростей мы
должны иметь точку перегиба. Условие (34.1), относящееся к точке М3,
имеет простое динамическое истолкование. В самом деле, в точках контура
vx = vy = 0, поэтому основное Уравнение теории пограничного слоя для
случая установившегося Движения (29.9) даёт нам, что в точке М3
Итак, для возможности отрыва слоя необходимо, чтобы на некотором участке
контура давление возрастало, а так как во внешнем
590
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
потенциальном потоке давление р и скорость U связаны формулой
то предыдущее условие равносильно тому, чтобы на некотором участке
контура происходило замедление основного движения.
Отметим ещё то обстоятельство, что при заданном распределении давления
место отрыва слоя определяется однозначно и, следовательно, не зависит от
числа Рейнольдса, если только последнее не скажется на распределении
давления в окружающем потоке. Напротив, угол, под которым линия отрыва
слоя МгЫ (рис. 172) наклонена к контуру АКВ, будет тем меньше, чем больше
число Рейнольдса. В самом деле, мы знаем, что при увеличении числа
Рейнольдса R толщина пограничного слоя изменяется обратно пропорционально
корню квадратному из числа Рейнольдса; также будет изменяться и угол
NM3B. В пределе при безграничном увеличении числа Рейнольдса толщина
пограничного слоя обратится в нуль, место отрыва слоя останется без
изменения, и срыв вихрей будет происходить по линии, касательной к
контуру.
Для нахождения течения в пограничном слое и для определения точки отрыва
имеется ряд приближённых методов. Мы остановимся только на некоторых из
них.
В способе Блазиуса предполагается, что мы имеем дело с обтеканием
симметричного контура бесциркуляционным установившимся потоком, имеющим
на бесконечности скорость, параллельную оси симметрии. При этих условиях,
обозначая через х длину дуги контура от точки разветвления потока, будем
иметь, что U есть нечётная функция от х, разложение которой в ряд Тейлора
есть
р-= const.,
U = ахх -(- й3х3 -f- а5х5 —j— .. .
(34.2)
Простое вычисление позволяет теперь определить
Вводя функцию тока (х, у), так что
г,У дх ’
напишем основное уравнение Прандтля в следующем виде: дЧ? d2W d'i" д2Ч>'
(34.3)
ду дх ду дх ду2
лзт
= v ~ду* aiX 4а1азл'3-Ь (6а1й5~Ь Зйз) х54~ ... (34.4)
Ищем формально решение этого уравнения в виде
Ф = хфх (у) + х3ф3 (у) -f- х5ср5 (у) -f- .... (34.5)
, 34]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
591
где фр Ф2’ Фз’ • • • СУТЬ Функции одного только у. Слово «формально» мы
прибавляем потому, что на самом деле неизвестно даже, можно ли разложить
1F в ряд вида (34.5).
Подставляя разложение (34.5) в уравнение и сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях д:, получаем ряд равенств, из которых мы выпишем
только первые три:
ф;2-фж=ж+^
4’КФз—3'КФз~ФЖ'==''Фз,+4а:1аз' ' (34.6)
