Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
координат, и имеющая ось Ох осью симметрии. Так как поперечные размеры
струи весьма малы по сравнению
с продольными, то мы можем применить уравнения теории пограничного слоя.
Конечно, как и в случае пластинки, полученные результаты будут пригодны,
только начиная с некоторого удаления от начала координат.
В виду того что в покоящейся жидкости мы имеем постоянное давление и,
следовательно, отсутствие градиента давления, то для функции тока 6 (л;,
у) мы получаем то же уравнение
6ф 62ф 62ф __ 53ф m 25)
ду дх ду дх ду2 ~ ду3 ’ (oo.toj
как и в случае обтекания пластинки равномерным потоком.
Однако
граничные условия будут теперь другими. А именно, на оси Ох мы имеем
условия:
—Цу- ==? 0, vy — 0 при у— 0, (33.26)
‘) Falk пег V. М. и Skan Sylvia W., Some approximate solutions
ol the boundary layer equations, Aeronautical Research Committee, Reports
and Memoranda, № 1314, 1930.
2) Schlichting H., Laminare Strahlausbreitung, Zeitschr. fur angew.
Math, und Mech., 13 (1933), стр. 260—263 и Bike ley W. G., The plane jet,
Phil. Mag., 23 (1937), N2 156, стр. 727—731.
§ зз)
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ДИФФУЗОРЕ. ЛАМИНАРНАЯ СТРУЯ
585
вытекающие из симметрии движения относительно оси Ох. Условие па
бесконечности в данном случае принимает вид:
vx —> О
при у — >оо.
(33.27)
так как основной поток отсутствует и, следовательно, U — 0.
Докажем теперь, что количество движения жидкости, проходящее через каждую
прямую х — хп, будет постоянной величиной, не зависящей от х0. В самом
деле, через элемент dy прямой х = х0 проходит масса жидкости рvxdy,
несущая количество движения pvxvdy, проекция которого на ось Ох равна
pv2xdy. Вследствие симметрии, нам достаточно найти проекцию количества
движения жидкости на ось Ох\ эта проекция имеет величину
М
j pv2xdy — 2 f pi? dy.
(33.28)
Но из уравнения (30.16), в котором надо положить U = О,
/2^l\ = 0, g — —vx, следует, что
\ “У /у=о
d
dx
f v2 dy — О,
ибо первый член в левой части уравнения (30.16) пропадает вследствие
стационарности движения. Итак,
J v2xdy = const.,
(33.29)
т. е. количество движения жидкости М имеет действительно постоянное
значение.
Чтобы решить уравнение (33.25), положим, обобщая приём Бла-зиуса,
упомянутый в § 32,
;«у; ф = д;РС(^).
Обозначая штрихами производные по 5, легко найдём, что
VX=^^+K',
to;
ду дЦ, г» V 3
: дуг
Х^+К"'.
?.х2*+К\
(33.30)
586 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. и
Поэтому уравнение (33.25) принимает вид:
А.2*+23-1 [(а В) <42 __ ^ vx3, + г,, (33.31)
Мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения С,
если примем, что
2а + 2^ — 1 = 3а + р,
откуда
Р = « + 1.
С другой стороны, условие
со
2 j ргЯ dy = М
о
приводит к равенству
СО
2р**+2? J4'2dS = Af, (33.32)
о
и так как М не зависит от х, то необходимо положить
а -)- 2р = 0.
Решая два полученных уравнения для а и р, находим
_ 2 • п 1
а— 3 , Р— 3 .
Итак, если мы примем, что
? = ух~\ ф = хЧ (;), (33.33)
то для определения С(?) мы будем иметь вытекающее из (33.31)
уравнение
гАф-ЕГ'+З'^'^О. (33.34)
Из (33.26), (33.27) и (33.30) вытекают граничные условия,
которым
должна удовлетворять функция С(?)‘.
с = 0, С" = 0 при ? — 0,
?0 » i—>с о.
Уравнение (33.34) очень легко интегрируется
сс' + з <'' = cv
Из условий (33.35) следует, что надо принять Сх = 0, так что
ц,' зу," = о.
/ . Л .. е . „ I (33.35)
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ДИФФУЗОРЕ. ЛАМИНАРНАЯ СТРУЯ 587
Эю уравнение опять-таки сразу интегрируется
+ 3vV = с2.
Так как У—>0 при >со, то значение С2 неотрицательно, положим поэтому
Ь2
Г — _ и2 — g *
Итак,
6vt/ = &2 — С2, ИЛИ ,2Ж
С2 — 3v ’
интегрируя это уравнение, находим:
,nTZTc — 37 + Сз-Так как С = 0 при 5 = 0, то С3 = 0. Поэтому
6 — г “ > - — " к ~ 6 V
e3v + l
Для сокращения письма положим:
b — 6 ча,
тогда находим окончательный результат
С (5) — 6va th а\. (33.36)
Величина а легко выражается через М путём использования формулы (33.32):
М — 2
Р fI'2
но
С'=== 6va2 — i С2; С'Л = <Й; С (0) = 0; C(co) = 6va, поэтому
6'>Я
М = 2р У ^6va2 — — С2^??С = 48pv2a3, (33,37)
о
Итак,
а=уГ-щ?- <33-38>
588
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Пользуясь выражениями (33.36) и (33.33) для С(?), получаем:
Рис. 178 даёт построенные на основе этих выражений линии тока и
зависимость составляющей скорости vx от у в трёх сечениях струи. Из неё
ясно видно, как струя постепенно захватывает всё большее и большее
количество жидкости. Легко проверить эго и аналитически. Количество
жидкости, протекающей через прямую,
Этот процесс связан с подтеканием жидкости к оси Ох, и действительно,
легко видеть, что
это подтекание наиболее интенсивно в непосредственной близости от оси Оу
и убывает по мере возрастания х.
§ 34. Приближённые методы теории пограничного слоя. Отрыв слоя. Метод
Кочина — Лойцянского. Мы уже упоминали выше, при общем описании теории
пограничного слоя, что следствием этой теории является возможность срыва
вихрей с поверхности обтекаемого тела. Этот факт имеет кардинальную
важность: в самом деле, в предыдущих главах, при изучении движений
