Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь формулами (37.12) и (37.13), найдём:
гг, cos (я, лг) + г»усо5(я, у) = ^соз(я, .x) + ^cos(«, У) = ^
и, следовательно, граничное условие на Сх мы можем написать следующим
образом:
^=U cos(я, х) на Сх.
В дальнейшем мы будем под я понимать направление внешней нормали к
контуру С. Таким образом для части контура Сх получилось то же самое
граничное условие, которое имеет место для идеальной жидкости.
На первый взгляд может показаться непонятным, что, исходя из условия
прилипания
vx—U, Vy — 0 на Сх, (37.14)
мы, после предельного перехода р.->0, получили лишь одно граничное
условие
г/* cos (я, x) + t>ycos(«, у) = U cos (я, х) на Сх, (37.15)
Здесь всё дело заключается в том, что интегралы системы уравнений (37.6)
при р.—>0 стремятся к своим пределам неравномерно. Но, как известно, при
неравномерной сходимости пределом последовательности непрерывных функций
может оказаться разрывная функ-ция. Приведём этому простой пример. Пусть
имеем функцию
/ (Н> х) — р-^-хг>
638
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. „
зависящую от параметра р.. При всяком положительном р эта функция есть
непрерывная функция от х, причём при х — 0 мы имеем равенство
/(р, 0) = 0. (37.16)
Устремим теперь р к нулю. Если хфО, то ясно, что при p->Q мы будем иметь
предельное равенство
lim / (р, х) — 1, х ф 0.
jj- -> о
С другой стороны, из (37.16) ясно, что
lim /(р, 0) = 0.
р. 0
Поэтому, вводя обозначение
lim /(р, х) = F (х),
и- -> 0
мы будем иметь
/='(0) = 0, F(x)=\ при х Ф 0.
Таким образом предельная функция F(х) имеет при х = 0 разрыв. Совершенно
такие же обстоятельства имеют место и в рассматриваемом нами случае.
Интегралы системы уравнений (37.6) удовлетворяют на контуре
Сх условиям (37.14). Но когда мы совершим
предельный переход р—>0, то в пределе получатся такие функции, которые
будут в точках контура Сх терпеть разрыв. Для этих предельных функций в
точках самого контура Сх будут выполняться граничные условия (37.14), но
в бесконечно близких к контуру С\ точках области Dx будет уже выполняться
граничное условие (37.15), подобно тому как для функции F(х) при
положительном, но сколь угодно малом х мы получаем значение 1, а не 0.
Рассмотрим теперь граничные условия на задней части контура Сг
vx=U, vy = 0 на С2. (37.17)
Так как в D2 мы имеем формулы:
= S + vy = dj’
то условия (37.17) приводятся, во-первых, к условию для определения ср
g = 0 на С2,
а, во-вторых, к условию для определения а (у):
-г..ч п (д9\
з7] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТИ 639
где означает значение функции dtpjdx в точке М2 кон-
тура С2 имеющей заданную ординату у (рис. 186).
Собирая все полученные результаты, мы приходим к следующим формулам,
определяющим течение рассматриваемого нами типа:
dtp d<p „
х дх у ду 1
дх \dxjMi ^ ’ у ду
в D.
2-
(37.18)
Здесь М2 есть та точка контура С2, которая имеет ту же ординату у, что и
точка М области D2, в которой определяется vK (рис. 186). Функция <р(х,
у) есть решение уравнения Лапласа
+ Ip" = °' ^37Л9)
удовлетворяющее граничным условиям:
j^ = T/cos(«, х) на Cj, = 0 на С2. (37.20)
Кроме того, должно выполняться ещё очевидное условие на бесконечности
ПРИ V*з+У'+оо. (37.21)
Функция q определяется формулой:
и следовательно, давление р определяется формулами
На линиях KXL1 и K2L2, отделяющих область Dx от области D2, составляющая
скорости vx и давление р терпят разрыв. Это обстоятельство сильно
уменьшает значение полученного решения. Нужно обратить внимание также на
то, что в основу вывода было положено допущение о пренебрежимости
вихрями, в то время как в полученном решении вся область D2 оказалась
заполненной вихрями.
Переходя к пространственным течениям, мы рассмотрим только частный случай
осесимметричного течения, причём будем пользоваться Цилиндрическими
координатами х, г, 0. Система уравнений (37.6) Переходит в пределе при
р.—>0 в систему
r)tn
pU ^ — grad q — 0; div» = 0.
640
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. 1}
Так как мы считаем движение осесимметричным, то щ — 0, а © v и q могут
зависеть только от х и г, поэтому предыдущие уравнения принимают вид:
0ид-^-дч = 0,
' дх дх
dvy
г дх дг 1 d(rvr)_
дх
дг
? 0, :0.
(37.23)
Кроме того, мы должны записать ещё условие отсутствия вихрей в области Dy
dvx dvr . п
дг дх
Поэтому среднее из уравнений (37.23) даёт нам, что
dq
dvr
Dv
дг —PU дг
Соединяя это равенство с первым из равенств (37.23) и замечая, что q
определяется только с точностью до постоянной, легко выведем, что
q = rjUvx в Dy (37.24)
Но второе из уравнений системы (37.23) показывает, что во всей области
течения существует функция ср(х, г), такая, что
, = Ри?. <..=?.
дх '
дг
(37.25)
На основании первого из уравнений системы (37.23) во всей области течения
(37.26)
дх дх2
а тогда последнее из уравнений системы (37.23) даёт нам, что
3?+Td?(rdF) = 0’
т. е. что ср удовлетворяет уравнению Лапласа
Дер — 0.
В области Dv вследствие равенств (37.24) и (37.25), мы имеем:
v* = Tx в D>-
В области же D2 на основании равенства (37.24) получим:
