Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
д<? (х, г)
vx{x, г)--
дх
• + а(г) в Do.
5 38]
РЕАКЦИЯ ПОТОКА НА ТЕЛО
С41
Установим теперь граничные условия. На передней части тела мы, аналогично
условию (37.20) плоской задачи, получим условие:
На задней же части S2 поверхности тела мы потребуем выполнения условий
прилипания; в результате получим, во-первых, условие для определения
функции tp:
S = ° на S2, и, во-вторых, формулу для определения функции а (г):
где М2 есть точка поверхности S2, имеющая заданную координату г, В
окончательном итоге для случая осесимметричного течения мы приходим к
следующим формулам:
Осеен получил в результате предельного перехода р.—>0 уравнения для более
общего случая, чем тот, который рассмотрен нами. Для частного случая
прямолинейного равномерного движения тела его уравнения совпадают с
полученными только что нашим нестрогим методом уравнениями.
§ 38. Реакция потока на тело. Вычислим теперь силы воздействия потока на
тело для рассматриваемых течений, причём ограничимся только случаем
плоской задачи. Если X п У суть
41 Теоретическая гидромеханика, ч. II
(37.27)
Здесь ср(х, г) есть решение уравнения Лапласа:
(37.28)
Удовлетворяющее следующим граничным условиям:
~ = (У cos (га, х) на Sx, = 0 на $2>
(37.29)
ПРИ V*2 + /-2->oo.
642
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. U
проекции на оси координат силы воздействия потока на контур с, то
очевидно:
К — — J р cos (я, x)ds, Y — — J р cos (п, у) ds.
с с
На основании формул
dx — — ds cos (я, у), dy = ds cos (я, x), можем написать
X
= — J р dy, К = J р dx, X — iY — — i J p dz. (38.1)
Применяя к точкам контура С формулы (37.22) и замечая, что на С2 имеем
д^/ду = 0, получим:
ду
- U2 на С9
P==*U — “а "2-Введя в рассмотрение функцию
л-р "й-*[(?)'+(?Л-
(38.2)
будем иметь:
р = рх на Сх, р = рх
и следовательно:
X
["?-(ЙЛ »а с-
~1Г=-‘ f?и Tu^+i J [(й) + (й) “г+
С с
+!/[иг-(й)>г <зм>
С2
Положим теперь
I
с
“/(й-'й)(й + 'й)<,'*~',ад' * (38'4)
РЕАКЦИЯ ПОТОКА НА ТЕЛО
643
тогда А
+*-/(?)’*•
где да — срД-гф, а ф есть функция, гармонически сопряжённая с ср.
Но dw/dz есть однозначная аналитическая функция от z вне контура С,
обращающаяся в нуль на бесконечности; следовательно, вблизи бесконечно
далёкой точки мы имеем разложение
4E = ^L_/|S.==?l + 4+ ... (38.5)
dz дх ду z 1 г2 1 4 '
Поэтому
J (?)?<*-о.
так как вместо С за контур интегрирования можно взять окружность сколь
угодно большого радиуса, на которой подынтегральная функция имеет порядок
l/|z|2.
Итак,
А-\-1В — 0, А — — iB. (38.6)
Далее
в = 2/(ж“г|г)[жС08(?г' + у>]* =
с
= 2 Г (*1—
J \ дх ду ) дп
С
что вследствие граничных условий даёт:
В==2 /*)rfs + 2 /ЙЙС03(Я’ =
с, с,
С, с~
Но формулы (38.3), (38.4) и (38.6) показывают, что ^ iY— i f pU^(dx —
idy)+^B-|-|- f [t/2 — (^) ](d* - tdy).
C Cj
41*
Х~2
с
644 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 1}
Подставляя сюда значение В и отделяя вещественную и мнимую части, легко
найдём после простых вычислений:
' /(&-“)'*>? (38-7>
С Cl
= Риг-|
С2
где Г = — 1ш ах есть циркуляция для течения с потенциалом w = ср-f- /ф.
Заметим, что значение всегда получится отрицательным, так как при
положительном обходе контура С значения dy на С2 отрицательны.
§ 39. Обтекание цилиндра. Как первый пример применения предыдущих
уравнений разберём задачу об обтекании цилиндра радиуса а. Нам нужно
прежде всего определить гармоническую функцию ср по условиям
= 17 cos (я, х) на Сх, -||- = 0 на С2,
-^->0 ПРИ У х2-\-у2—>со.
Функция ср — Ux удовлетворяет первым двум условиям, но не удовлетворяет
условиям на бесконечности. Положим
ср — их -f- срх; (39.1)
обозначим через фх функцию, гармонически сопряжённую с <рх, и введём ещё
комплексную функцию
«'i = <Pi + %
заметим, что •wl очень удобно рассматривать как комплексный потенциал
некоторого вспомогательного течения.
Для функции срх мы будем иметь такие граничные условия:
dc?i
дп— 0 на Сх. на ^2>
ду
Положим, наконец,
ду ' и> ПРИ Vx2-\-y2->oo.
(39.2)
dz ~ dy 1 dy ~~K
Ясно, что о) (г) есть аналитическая функция от z\ легко выяснить
механическое значение вещественной и мнимой частей этой функции. А
именно, обозначим через V абсолютную величину скорости вспомо-
обтекание цилиндра
645
нательного течения, а через & — угол, составляемый этой скоростью с осью
Ох. Тогда мы будем иметь:
д'Ь
Их
?? V cos 5>,
ду
V sin &. (39.3)
и, следовательно,
i^L = K( COS& dz
- i sin &) : -.Ve-^ =
откуда видно, что
u) == & -f- In V.
»ln И-/0
(39.4)
Рис. 187.
Но вследствие граничных условий (39.2) векторы скорости во
вспомогательном течении имеют направления, указанные на рис. 187. Таким
образом мы имеем следующие граничные условия для функции Я:
= 7Г ДЛЯ
ДЛЯ
»i=| + 9 ДЛЯ
&] = 7Г ДЛЯ
2
0<
<е<-| <0 <0,
7Z
~2'
<С 6 -5^ тс.
(39.5)
При 0 = 0 функция терпит конечный разрыв.
Применим теперь формулу Шварца, определяющую аналитическую функцию / (z)
= «'-)- iv, которая регулярна вне единичного круга и вещественная часть
которой принимает на контуре окружности радиуса а заданные непрерывные
