Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
1
7.Z ^
?-4)+
легко найдём, что
d® ?// /,
и вследствие формулы преобразования (40.1)
dw IU i ia. , 2ae'° \ , Л—iB
' 1 Г"
dz
2z
v-
+
(40.8)
обтекание плоской пластинки
655
где
Л:
= -^r(l — c°sa+~ cosa), В = ~~ ^ 1 — j sin a. (40.9)
Полученная формула показывает, что далеко перед телом течение имеет такой
характер, как если бы оно происходило от совокупности источника и вихря,
находящихся в начале координат, причём мощность источника равна
Q ~ 2~А = IU [я — я cos a -j- 2a cos a], (40.10)
а интенсивность вихря равна
Г — 2яВ — IU (я — 2a) sin а. (40.11)
При малых значениях а циркуляция получается равной rdUа, в то время как
по теории Жуковского циркуляция должна равняться 2rdUa. Значение
циркуляции, имеющее место в действительности, лежит между этими двумя
значениями.
Течение в области Dx определяется формулой (40.7). Чтобы определить
течение области D2, необходимо вычислить значения функции (40.7) в точках
задней стороны пластинки. Для этих точек С лежит в промежутке (—оо, 0), а
z имеет значение л; -f- yi — у ctg a -j-
-j- iy — eta\ поэтому из формулы (40.6) следует, что
ГI sin a — у
’ V I sin a -
1 + У
Мы имеем далее:
а а а
Г * _ ^ sin а— У \2^ - 1 _ __ eta ( / sin
а— у \
\ I sin а~\~ У ! ’ \ / sin a -j- у /
и поэтому по формуле (40.7) находим:
а—те
2те
дх
?cos 2
_в_ _1_1
а / / sin а — у \ 2л . а / / sin а — у \ 2гс 2 I 2 \ I sin а -)- у / Sln
2 V I sin а -)- у / J ’
-g- = 0 на С2; (40.12)
применяя после этого формулы (37.18), найдём течение в области D2.
Вычислим, наконец, сопротивление, испытываемое пластинкой, Для чего
применим формулу:
С2 Is In о
Подставим сюда предыдущее выражение для ду/дх и воспользуемся
подстановкой
у = /т; sin a;
656
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
тогда получим
X:
рU4 sin а
- / [cos21 (т+? )* + Sin а (thr) 11
+
-f- sin2
Но если положить
то будем иметь 1
1-
1+4
О
& dt
(1 + t)2 sin
(—1 < Р < О-
Теперь без труда после ряда тригонометрических преобразований получим:
РU4 г , „ ч cos 2а '
X ??
L ' cos a J
(40.13)
Аналогичным образом, пользуясь второй из формул (38.7) и значением Г из
формулы (40.11), мы могли бы вычислить Y. Но в данном случае достаточно
заметить, что все элементарные силы давления направлены по нормали к
пластинке. Поэтому результирующая сила должна быть перпендикулярна к
пластинке. А отсюда сразу следует, что
К = — X ctg a = [я ctg a — (я — 2a) • (40.14)
При угле а = я/2 составляющая Y обращается в нуль, как и должно быть, для
X же получается выражение
_ Р ич (я 4- 2)
: — 2,57р U4,
(40.15)
в то время как опыты дают коэффициент 1,56. Как видим, сопротивление
получается чрезмерно большим. Причиной этого является то же
обстоятельство, которое имело место и в случае обтекания цилиндра: в то
время как распределение давления на передней стороне пластинки хорошо
соответствует действительному, на задней стороне пластинки получаются
чересчур низкие давления.
Можно получить лучшие результаты, видоизменяя несколько основные
предпосылки теории, как это сделал в ряде работ Цейлон (Zeilon)!).
’) См., например, О s е е n C.W., Hydrodynamik, приложение, содержащее
две работы Цейлона.
обтекание плоской пластинки
657
Рассмотрим, например, стационарное плоское движение и допустим, что
вектор полной скорости © может быть разложен на две части
© = ©0-f-©', (40.16)
где ©0 есть вектор скорости основного движения, а ©' — вектор
дополнительной скорости. Для определённости примем, что ©0 есть
безвихревой потенциальный вектор
© =_ii © = м— I ^ — о
vox ду > оу дх’ дхду2 •
Примем теперь, что в выражении ©Xrot©, входящем в основные уравнения
(37.1), мы можем пренебречь квадратичным членом ©'Xrot©', так что эти
уравнения можно записать так:
— ?voyQ = — -Йг+уДгд; pv0XQ= — + v Д©у, (40.17)
где
_ dvy dvx
дх ду
Из предыдущих уравнений после перекрёстного дифференцирования легко
найдём, что
62 . 62 АГ1 p^^ + p%'17 = vAQ:
в пределе при р->0 получаем уравнение
62 . 62 „ 6ф 62 6ф 62 п . 10
"«07+%-^ = ° или •^6Г-Ж67 = 0- (40Л8) Это последнее уравнение показывает,
что 2 = /(ф), т. е. что вихрь имеет постоянное значение на линиях тока
основного движения.
Принимая ф =— Uу, мы получаем прежний результат, что за телом вихри
перемещаются по прямым, параллельным оси Ох. Выбирая иную функцию ф, мы
получаем другие траектории для вихрей и, следовательно, другое решение
задачи.
Ещё одно видоизменение теории касается граничных условий. В основной
теории исчезающей вязкости мы имеем резкое разграничение передней
стороны, на которой происходит обтекание потоком тела, от задней, на
которой происходит прилипание жидкости к телу. Можно ввести некоторые
переходные участки, на которых один режим обтекания будет сменяться
другим. Ясно, что путём надлежащего подбора этих участков можно
значительно улучшить совпадение получающихся теоретических результатов с
экспериментальными данными, особенно, если использовать также и произвол
в выборе функции тока основного течения ф.
